Tính không đầy đủ của Tóan học

[Nguyễn Thành Trung (nt2)]

- Anh Trung bảo rằng cardN<cardQ thì chả đúng tẹo nào,có thể chứng minh rằng cardN=cardQ (đọc sách đại số năm thứ nhất đại học)

Thế nếu em không đọc sách ĐS năm 1 ĐH thì em có tự CM được cardN = cảdQ ko?

 

[Nguyễn Đình Hà (dactanhang)]

Có em làm được anh Trung ơi ... cách chứng minh trẻ con ý mà ... khiếp gì mà mày dọa trẻ con thế
To anh Hưng: em thử giải bài toán anh nêu nhé?
1. card(doan thang) = card(hinh vuong)
xét ánh xạ f :[0,1[²--->[0,1[
a=0.a1a2a3a4a5a6...
b=0.b1b2b3b4b5b6...
f(a,b)=0.a1b1a2b2a3b3a4b4...
----> xong! card[0,1[²=card[0,1[ --> cardR=cardR², cardR=cardC
2.có tập nào ở giữa R và N? Theo em nghi thì ko có, chắc là các nhà toán học đã có định lý vì đây là vấn đề nổi tiếng , chứng minh thì em ko biết ạ Em nghi do quan hệ ~ mà Trung nói là quan hệ tương đương ---> tạo ra các equivalent class. Cho cac tập có card vo cung thi chia trong 2 tập đếm được và ko đếm được:
N,Z,Q,N*N,N*N*..*N,..
R,C,P(N),R-Q,...
Mọi tập con của R hoặc đếm được, hoặc tương đương với R. Dũng đâu chứng minh đê ... mày học toán cơ mà /

Ah, thử đố mọi người kiểm tra xem f song ánh hay chỉ là đơn ánh thôi.

 

[Nguyễn Thành Trung (nt2)]

Mọi tập con của R hoặc đếm được, hoặc tương đương với R.

Cái này thì sách nào về LT tập hợp chẳng nói đến, CM ý 2: chỉ cần chứng minh <a, b> ~ R là xong(<a, b> có thể là [a, b], [a, b), (a, b], (a, b)). Lấy (a1, b1) là tập con của <a, b> rồi CM tồn tại song ánh từ (a1, b1)->R.

Ah, thử đố mọi người kiểm tra xem f song ánh hay chỉ là đơn ánh thôi.

f là song ánh vì:
- Nó là toàn ánh
-nếu (a, b) # (c, d) thì f(a, b) # f(c, d) (dễ dàng CM).

còn CM f là toàn ánh : Lấy m bất kì thuộc [0, 1] => m = 0.m1m2m3m4...
Lấy a = 0.m1m3m5..., b = 0.m2m4m6...
=>f(a, b) = m.

 

[Chu Đức Hiệp (hiepcd)]

--số 1.(9)là hữu tỉ hay vô tỉ hoặc bằng bao nhiêu tuỳ thuộc bạn định nghĩa nó thế nào chứ mà nếu đã định nghĩa rồi thì ắt phải tính được (giống như chứng minh giới hạn bằng định nghĩa )

Vấn đề là không được vi phạm property "well-ordered" của tập hợp số thực.
Vì thế mà 1.(9) nhất thiết là bằng 2.

 

[Nguyễn Thành Trung (nt2)]

Còn chút vốn liếng về LT tập hợp, viết ra cho mọi người tham khảo:
-ĐL1: Mọi tập con vô hạn của tập đếm được là tập đếm được.
-ĐL2: Mọi tập vô hạn đều chứa 1 tập con đếm được.
-ĐL3: Hợp của 1 số đếm được các tập đếm được là 1 tập đếm được.
-ĐL3': Hợp của 1 số không quá đếm được các tập không quá đếm được là 1 tập không quá đếm được (tập không quá đếm được hoặc là tập đếm được hoặc là tập hữu hạn)
-ĐL4: Q là tập đếm được
-ĐL5: R là tập không đếm được
-ĐL 6: Cho 2 tập A và B. Nếu có 1 tập con của A ~ B và có 1 tập con của B ~ A thì A ~ B.

 

[Chu Đức Hiệp (hiepcd)]

Góp vui với mọi người một chút vậy.
Bài toán 1 mà Hà chứng minh (general version của nó) rất có ý nghĩa trong công nghệ thông tin. Trong graphics thì nó liên quan mật thiết đến morphing, nhờ nó mà mới có những bộ phim với kỹ xảo như là Terminator, Matrix, X-men.
Chỉ cần một hàm thôi (tất nhiên là cho thêm cả thời gian t vào cho hấp dẫn, nhưng lúc đấy thì không phải song ánh nữa) -> Một thằng (coi như 3 chiều nhé) biến thành một vũng nước, sau đó xèo xèo bốc khói (trong vòng một vài giây chẳng hạn) ...

 

[Nguyễn Đình Hà (dactanhang)]

Mọi tập con của R hoặc đếm được, hoặc tương đương với R.

Cái này thì sách nào về LT tập hợp chẳng nói đến, CM ý 2: chỉ cần chứng minh <a, b> ~ R là xong(<a, b> có thể là [a, b], [a, b), (a, b], (a, b)). Lấy (a1, b1) là tập con của <a, b> rồi CM tồn tại song ánh từ (a1, b1)->R.

Ah, thử đố mọi người kiểm tra xem f song ánh hay chỉ là đơn ánh thôi.

f là song ánh vì:
- Nó là toàn ánh
-nếu (a, b) # (c, d) thì f(a, b) # f(c, d) (dễ dàng CM).

còn CM f là toàn ánh : Lấy m bất kì thuộc [0, 1] => m = 0.m1m2m3m4...
Lấy a = 0.m1m3m5..., b = 0.m2m4m6...
=>f(a, b) = m.

1. Các tập con của R không chỉ đơn thuần là các đoạn "interval" Trung ạ, cái tao vừa nói thì nó tổng quát lắm, nó chính là để nói không có tập nào có lực lượng ở giữa N và R cả :* . Cái này muốn hiểu rõ phải hỏi thằng Dũng, nó biết nhiều về lý thuyết tập hợp, tao không theo nghành toán. Dũng đâu rồi! b-)
2. f là toàn ánh là sai [-x Để thêm thời gian cho mày và mọi người suy nghĩ thêm / .

 

[Chu Đức Hiệp (hiepcd)]

Đúng đấy, bài toán này phức tạp đấy chứ, đừng xem nhẹ nó chứ lớp trưởng.
Ví dụ như tập các số vô tỉ, nó cũng là một tập rời rạc đấy chứ, (Ko chứa một interval nào, do giữa hai số vô tỉ bất kỳ bao giờ cũng tồn tại một số hữu tỉ), nhưng vẫn là ko đếm được mà.
Dũng giúp Trung đê....

 

[Nguyễn Thành Trung (nt2)]

OK để mình suy nghĩ thêm.

 

[Trần Đức Anh (huvm)]

Vấn đề là không được vi phạm property "well-ordered" của tập hợp số thực.
Vì thế mà 1.(9) nhất thiết là bằng 2.

Anh có nghĩ nó là liên phân số hay cái khác không(cơ số khác chẳng hạn)

Cần định nghĩa nó 1 cách thế nào chứ là 1 biểu thức hay là cái gì đó chứ thế thì mới thấy rõ vấn đế chứ
Chẳng nhẽ không biết nó là gì mà cứ ngồi cãi nhau

 

[Trần Đức Anh (huvm)]

Thế nếu em không đọc sách ĐS năm 1 ĐH thì em có tự CM được cardN = cảdQ ko?

Anh nói nghe buồn cười quá đi thôi vì vấn đề chính câu em nói ra là không thể có cardN<cardQ không cần biết là em đã chứng minh được hay là em kế thừa phát minh đó

 

[Nguyễn Chí Thanh (NCT)]

Cần định nghĩa nó 1 cách thế nào chứ là 1 biểu thức hay là cái gì đó chứ thế thì mới thấy rõ vấn đế chứ
Chẳng nhẽ không biết nó là gì mà cứ ngồi cãi nhau

Con số 1,(9) có thể tính bằng cách qui về 1 + 0,(9).
0,(9) được tính bằng cách tính tổng của một chuỗi, với dãy số có dạng
Un = 9* (1/10)^n
Sn = U1 + U2 + U3 + ..... + Un
Theo cách tính chuỗi cấp số nhân thì chuỗi này hội tụ, và tính được Sn khi n tiến đến vô cùng. Sn -----> 1

 

[Bùi Hải Thanh (thanhbh)]

Theo cách tính chuỗi cấp số nhân thì chuỗi này hội tụ, và tính được Sn khi n tiến đến vô cùng. Sn -----> 1

1.(9) \in [0,2) và 2 \notin [0,2)

/Thanh

 

[Chu Đức Hiệp (hiepcd)]

1.(9) \in [0,2) và 2 \notin [0,2)

1.(9) \in [0,2) là không có cơ sở.

Còn việc biến đổi 1.(9) = 0.(9) + 1 = 9* 0.(1) + 1 cũng khá cảm tính, thường chỉ có ý nghĩa trong việc xác định giá trị, còn trong chứng minh thì không thực sự chặt chẽ (Nếu muốn được chặt chẽ thì phải tốn nhiều giấy mực hơn một chút). Ai đã học về chuỗi số (hoặc là chưa học nhưng học thày Trần Văn Khải rồi ) chắc cũng biết là phải cẩn thận với những phép biến đổi liên quan đến vô hạn phần tử. (9) ở đây là thành phần bao gồm vô hạn phần tử (là các chữ số 9 ở các vị trí khác nhau của phần thập phân).

Thực ra chứng minh chặt chẽ và dễ dàng nhất mệnh đề 1.(9) = 2 là dựa vào tính well-ordered của tập số thực.
Giả sử ngược lại, suy ra 1.(9) < 2. Tất nhiên là 1.(9) không thể lớn hơn 2 được.

Cách 1: do tính well-ordered -> tồn tại số thực c: 1.(9) < c < 2. Từ đó có thể suy ra mâu thuẫn -> biểu diễn thập phân của c là gì?

Cách 2: do tính well-ordered -> tồn tại epsilon = 2 - 1.(9) > 0. Do epsilon xác định -> tồn tại N nguyên dương sao cho epsilon > 10^(-N). Gọi aN là 1.99... với N chữ số 9 ở phần thập phân. Hiển nhiên: aN < 1.(9). Suy ra aN < 1.(9) < 2.
Mặt khác lại có 2 - aN = 10^(-N) < epsilon = 2 - 1.(9).
Kết hợp 2 điều trên suy ra mâu thuẫn với tính well-ordered của tập số thực.

 

[Trần Thăng Long (Dragon12T)]

Bó tay với các bác , em lượn , khi nào thằng Dũng có phát minh gì thay đổi nền Toán Học Việt Nam thì các bác gọi em lượn ..lại nhé

 

[Trần Tuấn Anh (Ipsen)]

Bác XYZ, em chỉ có câu này thôi:

2 thì là 2, dù bác có thay đổi nền toán học thế nào chẳng nữa

Nhưng 1.(9) thì chỉ là 2 nếu bác chấp nhận các định lý và tiên đề đang được sử dụng hiện nay về chuyện tính lim.

Thế nên có chú ABC nào đó mà đặt được nền tảng cho một hệ thống tính giới hạn mới hoàn toàn thì chuyện 1.(9)=2 là chuyện sai lầm.

Dạ hết.

 

[Nguyễn Đình Hà (dactanhang)]

Phải phân biệt được đây là toán học Sơ cấp của đại học, chứ không phải là toán phổ thông nên các em đừng thắc mắc gì nhiều, ai có interest thì tìm hiểu mới biết được thôi. Vả lại cách giải thích của Hiệp đã rất rõ ràng rồi, còn toán học bất kì định lý nào chẳng dựa vào các tiên đề để phát triển lên!

 

[Trần Tuấn Anh (Ipsen)]

Có tiên đề nào nói 2 = 2 chứ không phải bằng 3 (xét về số lượng) không ạ?

 

[Chu Đức Hiệp (hiepcd)]

Thực ra từ khi bắt đầu học toán đến giờ mình chưa từng thấy và cũng chưa bao giờ thử tìm hiểu xem có tiên đề như vậy không.

Có thể nói nền tảng của toán học bắt đầu với counting (và cả elementary geometry nữa). Việc phát minh ra con số là một bước tiến lớn. Người ta không còn cần phải đặt ra 2 quả táo, hay 2 quả cam, ... (bất cứ hai quả gì cũng thế thôi) nữa. Con số 2 có thể coi là một "abstraction" cho bất cứ 2 sự vật, sự việc gì. Nhờ đó mà con người có thể tư duy trừu tượng được. Chứ không mỗi lần giải các bài toán (mà các bạn cấp một vẫn giải khi bắt đầu làm quen với bảng cửu chương) lại phải vác ra vài trái táo, vài trái cam, hoặc là mấy cái kẹo thì cũng mệt. )

Question về việc 2 = 2 mà không bằng 3 thì cũng như hỏi có phải con chó thì khác với con mèo hay không, bởi một cách tương tự, ngôn ngữ cũng là "abstraction" cho các sự vật sự việc mà con người rất cần nó để có thể tư duy trừu tượng được.

Còn về các tiên đề trong lý thuyết số có rất nhiều tiên đề, thường được gọi là các tính chất mà chắc hẳn ai cũng đã từng học qua. Ví dụ như khi xây dựng tập hợp số thực, các tính chất giao hoán, kết hợp ... vẫn được thừa nhận. Ngoài ra về thứ tự của tập số thực còn có một số tính chất quan trọng khác như "Hai phần tử bất kỳ của R bao giờ cũng so sánh được",... (khi xây dựng tập số phức thì tính chất này không còn đúng nữa, sẽ là vô nghĩa khi dùng các dấu "<", ">" cho các số phức, tuy nhiên người ta vẫn có thể so sánh argument của chúng...)

 

[Nguyễn Hoàng Dũng (ThomasTran)]

a=0.a1a2a3a4a5a6...
b=0.b1b2b3b4b5b6...
f(a,b)=0.a1b1a2b2a3b3a4b4...
f là toàn ánh là sai [-x Để thêm thời gian cho mày và mọi người suy nghĩ thêm / .

Hà đố thông minh phết nhỉ :x Trés bien!
Nhưng mà khi giải bài này thì hình như người ta quy ước 0.(9)=1. Thế thì có song ánh đẹp luôn. Hồi trước xem đoạn này thích thế :*