Tính không đầy đủ của Tóan học

[Nguyễn Thành Trung (nt2)]

Các khái niệm cơ bản:
-Tập X và Y được gọi là equivalent (tương đương) hoặc có lực lượng = nhau nếu giữa chúng có thể thiết lập 1 ánh xạ 1-1 (song ánh). Kí hiệu : X~Y
-Tập X gọi là hữu hạn nếu tồn tại số tự nhiên n, sao cho X~{1, 2, ..., n}. (Nói cho dễ hiểu thì tập X có hữu hạn phần tử)
-Tập X gọi là đếm được nếu X~N (N = tập các số tự nhiên). (Nói cho dễ hiểu thì ta có thể đánh số được các phần tử của X và X phai là tập vô hạn phần tử)
-Tập không dếm được tất nhiên khôg phải là tập đếm được rồi.

Định lý:
-Q (tập các số hữu tỉ) là tập đếm được.
-R (tập các số thực) là tập không đếm được.

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Thật ra bác Hưng giải thích 1.(9) = 2 như thế cũng chưa thuyết phục lắm

Thật ra thì tôi không muốn giải thich, chỉ đưa ra câu trả lời cho các bạn học sinh tự suy ngẫm thôi ) Cách giải thích của chú Trung là đúng rồi đấy!
Hồi tôi đi gõ đầu trẻ thì cũng giải thích gần như vậy: 0.(9)=3*0.(3)=3*(1/3)=1; Tôi quan tâm đến cách suy nghĩ đi đến lời giải chứ 0 phải lời giải Thực ra thường thì tôi ra cho bọn trẻ số: A.a_1a_2a_3...a_n (b_1b_2...b_m) rồi bảo bọn nó tìm biểu diễn dạng số hữu tỉ. Dĩ nhiên ít tên làm được trong vòng 10min, bắt đầu bằng quan sát rất sơ đảng: 0.(1)=1/9.

Còn câu hỏi mà bác Hưng đặt ra em nghĩ thế này: cái tập mà bác cần tìm là tập Q chứ còn gì nữa: cardN < cardQ < cardR vì N là tập con của Q => cardN <= cardQ, nhưng Q không equivalent với 1 tập con nào của N => cardQ > cardN. Còn cardQ < cardR thì hiển nhiên rồi vì Q là tập con của R mà Q là tập đếm đuợc, R la tập không đếm được.

Rất tiếc là chú Trung sai ở đoạn Card (N) < Card (Q). Thực ra Card (N) = Card (Q), đơn giản là Q = N x N, bằng "đường chéo Cantor" dễ chỉ ra được song ánh Vậy các bạn trẻ thử tìm (tương tự) song ánh giũa đoạn thẳng và hình vuông, để chỉ ra là: Card (R)= Card (R x R). Thử tưởng tượng trong đầu song ánh giữa đoạn thảng và khối hộp k chiều. Luyện tư duy trừu tượng tý nhỉ =;

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

- vô cùng chi là 1 ki' hiệu toán học thôi, nó ko tượng trưng cho số lớn nhất...em hỏi số lớn nhất cơ...

Okey, giả sử ông giáo sư mà cô Mai "chót yêu" tìm ra được số lớn nhất, gọi là số M, thế thì "thằng cuội" nó cộng thêm 1 vào M tức là nó đưa ra số M+1, theo cô Mai thì số của thằng cuội lớn hơn hay của ông giáo sư kia lớn hơn?Vậy Mai có nên đi tìm số lớn nhất nữa hay không?

Btw. nói ngoài lề là, tại mỗi thời điểm nhất định có thể định nghĩa được số lớn nhất, nhưng nó kh phải là toán (với logics vs axioma) các mà các bạn quen thuộc. Nếu bạn trẻ nào thích thì có thể đọc về finite math hay constructive math. Math cũng có main stream và non-standard.

 

[Nguyễn Thành Trung (nt2)]

Bác Hưng giỏi thật, lúc giải bài này em đã nghi là cardN = cardQ nhưng không biết tìm cái song ánh đấy thế nào nên mới viết liều như thế. Thanks bác nhé. Để em nghĩ tiếp xem còn tập nào thỏa man nữa không.

 

[Nguyễn Hoàng Mai (NguyenMai)]

ko hẳn thế ạ...
người ta lấy vô cùng là ki' hiệu của số lớn nhất tại vì vô cùng cộng vô cùng nhân vô cùng cũng chỉ là vô cùng thôi, ko thể nói là vô cùng cộng 1 thì lớn hơn vô cùng được...
tương tự như vậy, nếu người ta tìm được cách vẽ 1 số rồi chứng minh là ko thể có số lớn hơn số đã cho, số đấy lũy thừa n lên cũng chỉ là nó thì cộng 1 cũng chẳng ảnh hưởng gì...
em hỏi thăm về số như thế...
nyway, thanks bác Hưng đã dành thời gian để đọc mấy câu hỏi ''ngớ ngẩn'' của em ...

 

[Tran Trung (ttx2t)]

Em can 1 loi khuyen ah, anh chi nao co the cho em dc khong.

Thu thuc la cho den thoi diem nay em cuc ky dot toan.

Nhu em quan sat ban be thi thuong rat gioi tu pho thong va roi neu theo tiep thi den bay h cung da dat duoc 1 so thanh tuu nhat dinh.Bravo =D>

Nhung em cung quan sat 1 so ban cung hoc khac nguoi Phap, co the noi la het lop 12 thi trinh do cua cac ban do khong the so sanh voi nhung ban hoc chuyen chu khong noi gi den hoc doi tuyen.
Co ban di thi quoc te con ngu, ve no noi thang la "tao cam de thi ma chang hieu gi ca ) ===>>> di ngu suong hon ) ) )"

Vay ma den sau hon 1 nam thi trinh do vuot troi, vuot qua ca nhung nguoi dat huy chuong trong ky thi quoc te. Va con so do khong it !!!
Thuc su la em phuc lan nhung nguoi do, do khong co dip noi chuyen nhieu nen cung khong hieu dc la no hoc ntn ma tien nhanh den the.

Anh chi nao co cach hoc hay, hoac phuong phap tot co the chi giup cho dan em dc khong, please.

Mot dieu nua la em chang thich hoc toan may ), nhung em bi bat buoc, khong co con duong nao khac.

Neu cac bac khai thong dc cai dau tam toi cua lu dan em, va giup duoc dan em tiep can duoc voi ve dep cua toan hoc thi thuc su la em biet on lam lam !!!


.....mau nao uoc muon...mau nao day voi.....

ttl2t

 

[Nguyễn Thành Trung (nt2)]

Hồi lớp 12 em có dự 1 buổi thảo luận về toán ở trường ĐH quốc qia HN, có 1 bác (lâu rồ em cũng không nhớ tên, hình như là TS Phạm Thế Long, hiệu trưởng trường KTQS) có nói 1 câu rất hay: "nếu coi quãng đời học toán là 1 cuộc chạy Marathon thì thi quốc tế chỉ là 1 cuộc chạy thi 100m", trên thực tế có nhiều người thi quốc tế đoạt giải cao nhưng không đạt đươc nhiều thành tựu trong toán học trong khi đó thì 99% các nhà toán học trên thế giới đều chưa từng thi QT toán.

 

[Phạm Hoàng Lê (phl)]

Em thì không nghĩ là đến 99% đâu .Trước khi có kì thi toán quốc tế thì nó là 100% ,nhưng em nghĩ sau khi có kì thì toán quốc tế thì nói chung là đến thời điểm này rất nhiều người được thi toán quốc tế đều là nhà toán học

Còn về chuyện anh Trung ,em nghĩ nước mình được giải toán quốc tế cao là do luyện gà nòi nhiều ,phương trâm là học trâu bò để lấy giải .Sau rồi thì chả thấy có công trình gì nữa .Đấy có thể là do nhiều điều khác chứ không phải là người ta không giỏi .Có thể là do điều kiện nghiên cứu trong nước chưa được tốt .Còn ở nước ngoài ,chưa chắc người ta đã bằng mình nhưng người ta được tạo điều kiện nghiên cứu tốt hơn mình ,nói chung là em thấy nhiều thứ tốt hơn mình .Thế nên nhiều người học phổ thông thì không có gì nhưng ra ngoài nghiên cứu thì rất tốt .

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Vô cùng không phải là số lớn nhất như cô hay các bạn trẻ vẫn nghĩ đâu. Vô cùng cũng có nhiều bậc (levels), vô cùng bậc 0 như là lực lượng các số tự nhiên, vô cùng bậc một như lực lượng các số thực (eg. số điểm trên 1 đọan thẳng), và có vô hạn vô cùng bậc cao hơn nữa. Không có vô cùng lớn nhất! Làm thế nào để tìm ra các vô cùng bậc cao hơn? Rất đơn giản. Lấy 1 tập hợp bất kỳ (vô hạn), chúng ta có thể định nghĩa 1 tập hợp mới là tập hợp mọi tập hợp con của tập đó, thì lực lượng của tập mới sẽ lớn hơn lực lượng của tập hợp ban đầu. Bằng cách đó xuất phát từ eg. tập hợp các số tự nhiên, có thể xây dựng được 1 chuỗi vô hạn các vô hạn ngày một lớn hơn.
|A| < | 2^A | < | 2^{2^A} | < | 2^{2^{2^A}}| < ....

Vô cùng là 1 khái niệm thuần túy toán học. Không có số lớn nhất, do vậy vô cùng 0 phải là số lớn nhất.

Nếu giới hạn về tập hợp các số thực, vô cùng có thể hình dung như là (1/0) và nó tuân theo các quy tắc (arithmetic's operations) cộng trừ nhân chia riêng khác với các số bình thường.

người ta lấy vô cùng là ki' hiệu của số lớn nhất tại vì vô cùng cộng vô cùng nhân vô cùng cũng chỉ là vô cùng thôi, ko thể nói là vô cùng cộng 1 thì lớn hơn vô cùng được...
tương tự như vậy, nếu người ta tìm được cách vẽ 1 số rồi chứng minh là ko thể có số lớn hơn số đã cho, số đấy lũy thừa n lên cũng chỉ là nó thì cộng 1 cũng chẳng ảnh hưởng gì...

 

[Nguyễn Hoàng Dũng (ThomasTran)]

Em thì không nghĩ là đến 99% đâu .Trước khi có kì thi toán quốc tế thì nó là 100% ,nhưng em nghĩ sau khi có kì thì toán quốc tế thì nói chung là đến thời điểm này rất nhiều người được thi toán quốc tế đều là nhà toán học

Còn về chuyện anh Trung ,em nghĩ nước mình được giải toán quốc tế cao là do luyện gà nòi nhiều ,phương trâm là học trâu bò để lấy giải .

Chú nói thế là không đúng đâu. Mỹ, Trung Quốc luyện gà cũng "trâu bò" chẳng kém gì mình. Còn những nước không "luyện gà" như là Pháp, Đức, Nhật, học sinh đi thi kết quả không cao mấy. Muốn thi tốt thì chắc chắn phải luyện, không khác được.

 

[Nguyễn Chí Thanh (NCT)]

Nhân tiện nói về tập hợp, mấy bài kia của bác Hưng kinh khủng quá, em đọc chẳng hiểu gì. Mà em xin phép hỏi phát: liệu có tồn tại một Toàn A'nh từ tập N đến tập R không? Về nguyên tắc thì hai tập đều có vô số phần tử.

 

[Nguyễn Thành Trung (nt2)]

không thể có 1 toàn ánh từ N->R vì cardR > cardN

 

[Nguyễn Chí Thanh (NCT)]

Thế nào là định nghĩa card của một tập hợp.

 

[Nguyễn Chí Thanh (NCT)]

Thêm một câu hỏi nữa, liệu có một Toàn ánh từ tập các số vô tỉ đến các số hữu tỉ không?

 

[Nguyễn Thành Trung (nt2)]

Các khái niệm cơ bản:
-Tập X và Y được gọi là equivalent (tương đương) hoặc có lực lượng = nhau nếu giữa chúng có thể thiết lập 1 ánh xạ 1-1 (song ánh). Kí hiệu : X~Y
-Tập X gọi là hữu hạn nếu tồn tại số tự nhiên n, sao cho X~{1, 2, ..., n}. (Nói cho dễ hiểu thì tập X có hữu hạn phần tử)
-Tập X gọi là đếm được nếu X~N (N = tập các số tự nhiên). (Nói cho dễ hiểu thì ta có thể đánh số được các phần tử của X và X phai là tập vô hạn phần tử)
-Tập không dếm được tất nhiên khôg phải là tập đếm được rồi.

Định lý:
-Q (tập các số hữu tỉ) là tập đếm được.
-R (tập các số thực) là tập không đếm được.

tiếp tuc:

-Lực lựong của tập hợp là lớp các tập hợp tương đương (equivalent) với nhau, kí hiệu là cardX. Đối với tập hữu hạn phần tử thì card là số lượng các phần tử.

-CardX > cardY nếu X~ 1 tập con nào đó của Y, còn Y không tương dương với tập con nào của X.

cardQ < cardR nên khônng tồn tại toàn ánh từ Q->R

 

[Nguyễn Hoàng Mai (NguyenMai)]

tháng trước em vừa có dịp đi nghe 1 buổi lecture của 1 giáo sư ở đại học Cambridge. Ông này đã chứng minh là có thể vẽ được số lớn nhất. bác nào đã từng nghe qua vấn đề này có thể đề cập lại cách chứng minh được ko ạ? em hôm đấy nghe cũng nhập nhoằng ko hiểu lắm mà ko biết tìm thông tin ở đâu.
thanks các bác nhá

Vẽ số 8 quay nó đi 90 độ, cùng chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ, đơn giản thế đấy.

Em có nghĩ vô cùng là số lớn nhất đâu!!! 0

 

[Nguyễn Hoàng Dũng (ThomasTran)]

Em có nghĩ vô cùng là số lớn nhất đâu!!! 0

Mà kể cả thế thì cũng có sao đâu. Trên thực tế thì làm gì có tập vô hạn. [-( Các tập N,Q,R... thực ra cũng chỉ là một "sự tưởng tượng" mà các nhà toán học lấy làm làm cơ sở cho việc lý giải các hiện tượng khác trong toán học và vật lý.Trong lịch sử nhiều nhà toán học rất uyên bác cũng đã từng phản đối khái niệm " đường thẳng thực liên tục " vì cho rằng nó không đúng với thực tế.... :-$
Nhưng phải công nhận lý thuyết tập hợp là tuyệt hay, nếu ai quan tâm đến toán học thì rất nên tìm hiểu. >-

 

[Hoàng Long (Death_Creator)]

bác Hưng là dân tóan, không biết có dùng LaTeX nhiều không? em đang cần viết một cái paper tóan khá dài nên bắt đầu mới biết về cái này. nếu bác biết thì em rất mong được trao đổi tí.

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Yep, Latex (và các biến dạng của TeX) rất thông dụng trong 3 ngành: Math, CS, Physics. Dân econ thì chỉ những tên nào hay dùng tóan mới cần đến. Cần bàn gì thì chú cứ viết ra.

bác Hưng là dân tóan, không biết có dùng LaTeX nhiều không? em đang cần viết một cái paper tóan khá dài nên bắt đầu mới biết về cái này. nếu bác biết thì em rất mong được trao đổi tí.

 

[Trần Đức Anh (huvm)]

-Anh Hưng nói là Anhstanh dốt Toán thì chả đúng tẹo nào cả,vì em được biết là ông ấy rất giỏi Toán ,tốc độ giải Toán của Anhstanh rất nhanh.
-Vấn đề có tồn tại hay không tập hợp có lực lượng nằm giữa tập đếm được và continum thì đã có Paul Cohen chứng minh là phủ định hay khẳng định đều được,bàn làm gì cho mệt.
-số 1.(9)là hữu tỉ hay vô tỉ hoặc bằng bao nhiêu tuỳ thuộc bạn định nghĩa nó thế nào chứ mà nếu đã định nghĩa rồi thì ắt phải tính được (giống như chứng minh giới hạn bằng định nghĩa )
- Anh Trung bảo rằng cardN<cardQ thì chả đúng tẹo nào,có thể chứng minh rằng cardN=cardQ (đọc sách đại số năm thứ nhất đại học)