Tính không đầy đủ của Tóan học

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Nói chuyện tổng quát 1 chút cho các bạn trẻ

Vậy đó, trong toán học ko có gì là ko thể chứng minh, chỉ có cái muốn chứng minh nó thì phải đi từ những tiên đề mang tính chất khá định tính (ví dụ 1+1=2 ???) Einstein đã nói: tất cả chỉ là tương đối!!!

Các chú cựu chuyên Tóan mà biết về Tóan ít quá, chỉ giỏi khỏan tán phét thôi Trong bất cứ hệ tiên đề hữu hạn nào đều tồn tại, thậm chí còn chỉ ra được, mệnh đề không thể phân định được tính đúng sai. Đó là tính không đầy đủ của tóan học, (incompleteness), 1 tính chất đặc trưng không chỉ cho tóan, mà cho bất kỳ formalized sciences. Siêu định lý đó theo tôi là định lý đồ sộ nhất của tóan học TK 20, nó gần như làm sụp đổ D. Hilbert's program định xây dựng hệ tiên đề đầy đủ cho Tóan. Trường phái Formalism do Hilbert đề xướng cũng vì vậy bị thu nhỏ tầm ảnh hưởng lại. Người chứng minh siêu định lý đó là Godel, nhà tóan học, triết học Áo, trước WW2 chạy tỵ nạn sang Inst. Adv. Studies Princeton, 1 trong vài lão to đầu nhất trong làng tóan thế giới. Vì tầm vóc của nó tôi gọi nó là siêu định lý (metatheorem) chứ 0 phải định lý. Nó đã được chứng minh từ 70 năm nay, vậy nếu sinh viên đ/h có hiểu biết chút ít về kinh điển tóan học TK 20 mà không biết đến nó thì tệ quá !!
Vì vậy bất kể chú Hòang hay ai đó chọn cái gì để xd hệ tiên đề (không tự mâu thuẫn) thì cũng có thể đưa ra được mệnh đề không phân định được đúng hay sai trong hệ tiên đề đó.
Thêm nữa, ông A. Einstein rất dốt Tóan, vì thế khi nói chuyện về Tóan thì theo tôi tuyệt đối không nên lôi ông ấy ra mà dọa các em học sinh.

PS. 2 Godel's theorems được công bố trước (1932- 1938) khi Hilbert chết (1943). Godel theo trường phái triết học Neopositivism, lúc đó ở thập kỷ 30's TK 20 là cực kỳ mới, ra đời ở Vienne chút chút sau khi có cơ học lượng tử. Ông ta hình như có gốc do Thái, tuy sinh ra ở đất Czech hiện nay (lúc đó là đế quốc Áo-Hung), nhưng không phải là Czech!
Trong giai đọan 1928-1930, 1 nhà toán học lớn (triết học) khác, Alfred Tarski (do thái Ba Lan) đã rất gần chứng minh được kết quả của Godel. Ông này sau được biết đến với 1 số định lý khác, trong đó cũng có cả metatheorem. Tarski tình cờ thoát chết khỏi tay Hitler nhờ đi conference, sau lão đóng đô đến chết ở ... UC Berkeley. Nhiều nhà toán học khác gốc do thái không chạy kịp - bị nazis giết thời WW2. Nhờ các nhà khoa học lớn nhất của Âu châu sang tỵ nạn vì chiến tranh, vì nazis diệt do thái, vì đói sau WW2 các trường đại học ở US lên như diều trong giai đoạn 1935-1955. Thế hệ giỏi bây giờ thường là F2, F3 của các hạt giống tài năng đó

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Jones and Wilson, An Incomplete Education

In 1931, the Czech-born mathematician Kurt Gödel demonstrated that within any given branch of mathematics, there would always be some propositions that couldn't be proven either true or false using the rules and axioms ... of that mathematical branch itself. You might be able to prove every conceivable statement about numbers within a system by going outside the system in order to come up with new rules and axioms, but by doing so you'll only create a larger system with its own unprovable statements. The implication is that all logical system of any complexity are, by definition, incomplete; each of them contains, at any given time, more true statements than it can possibly prove according to its own defining set of rules.

Gödel's Theorem has been used to argue that a computer can never be as smart as a human being because the extent of its knowledge is limited by a fixed set of axioms, whereas people can discover unexpected truths ... It plays a part in modern linguistic theories, which emphasize the power of language to come up with new ways to express ideas. And it has been taken to imply that you'll never entirely understand yourself, since your mind, like any other closed system, can only be sure of what it knows about itself by relying on what it knows about itself.


Nagel and Newman, Gödel's Proof

He proved it impossible to establish the internal logical consistency of a very large class of deductive systems - elementary arithmetic, for example - unless one adopts principles of reasoning so complex that their internal consistency is as open to doubt as that of the systems themselves ... Second main conclusion is ... Gödel showed that Principia, or any other system within which arithmetic can be developed, is essentially incomplete. In other words, given any consistent set of arithmetical axioms, there are true mathematical statements that cannot be derived from the set... Even if the axioms of arithmetic are augmented by an indefinite number of other true ones, there will always be further mathematical truths that are not formally derivable from the augmented set.

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Rucker, Infinity and the Mind

The proof of Gödel's Incompleteness Theorem is so simple, and so sneaky, that it is almost embarassing to relate. His basic procedure is as follows:

1. Someone introduces Gödel to a UTM, a machine that is supposed to be a Universal Truth Machine, capable of correctly answering any question at all.

2. Gödel asks for the program and the circuit design of the UTM. The program may be complicated, but it can only be finitely long. Call the program P(UTM) for Program of the Universal Truth Machine.

3. Smiling a little, Gödel writes out the following sentence: "The machine constructed on the basis of the program P(UTM) will never say that this sentence is true." Call this sentence G for Gödel. Note that G is equivalent to: "UTM will never say G is true."

4. Now Gödel laughs his high laugh and asks UTM whether G is true or not.

5. If UTM says G is true, then "UTM will never say G is true" is false. If "UTM will never say G is true" is false, then G is false (since G = "UTM will never say G is true"). So if UTM says G is true, then G is in fact false, and UTM has made a false statement. So UTM will never say that G is true, since UTM makes only true statements.

6. We have established that UTM will never say G is true. So "UTM will never say G is true" is in fact a true statement. So G is true (since G = "UTM will never say G is true").

7. "I know a truth that UTM can never utter," Gödel says. "I know that G is true. UTM is not truly universal."


Think about it - it grows on you ...

With his great mathematical and logical genius, Gödel was able to find a way (for any given P(UTM)) actually to write down a complicated polynomial equation that has a solution if and only if G is true. So G is not at all some vague or non-mathematical sentence. G is a specific mathematical problem that we know the answer to, even though UTM does not! So UTM does not, and cannot, embody a best and final theory of mathematics ...

Although this theorem can be stated and proved in a rigorously mathematical way, what it seems to say is that rational thought can never penetrate to the final ultimate truth ... But, paradoxically, to understand Gödel's proof is to find a sort of liberation. For many logic students, the final breakthrough to full understanding of the Incompleteness Theorem is practically a conversion experience. This is partly a by-product of the potent mystique Gödel's name carries. But, more profoundly, to understand the essentially labyrinthine nature of the castle is, somehow, to be free of it.

 

[Vũ Đình Hoàng (Moonlife)]

Hehe bác Hưng post quả serie bài tiếng Anh này có tu luyên công lực thêm 10 năm nữa chưa chắc em lãnh ngộ được

Vụ em reply cái bài kia chẳng qua chỉ là post cho vui vậy thôi, nào có ý gì khác đâu. Còn 2 chữ "chuyên Toán" quả thực em ko dám nhận. Vì chỉ là T2 thôi, mà T2 thì chỉ có chuyên "chơi" thôi bác ạ - khá nổi tiếng đóa bác, chứ ko giống dân chuyên thực sự T1 đâu ạ!

Còn bác nói ông Einstein dốt toán thì em ko được bằng lòng cho lắm, bác biết đấy, tất cả các bộ môn khoa học đều dính ít nhiều đến Toán. Nếu bác đã từng xem qua cái tài liệu về thuyết tương đối của Einstein thì bác sẽ thấy nếu ko phải là một người giỏi (thậm chí cực kỳ giỏi) Toán thì ko bao giờ có thể thành công được. Em nói vậy chẳng phải là em có thể hiểu được cái thuyết tương đối, mà chẳng qua em thấy nó loằng ngoằng mấy công thức Toán 1 cách đáng sợ, mà ko biết bao nhiêu trang loằng ngoằng như thế

Tóm lại em lôi bác Einstein này ra chỉ là muốn trích dẫn lại cái câu nói bất hủ của bác ý, ngoài ra ko có ý gì khác.

Xin hết ạ

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Chú Hòang: Thiên tài của Einstein khi nghĩ ra thuyết tương đối là ở idea chứ không phải vì mathematical skills, càng không thể nói đến mathematical genius.
Thực tế thì Einstein mất gần 10 năm mới đi được từ idea đến hệ phương trình mang tên ông ấy. Quá lâu. Hồi ông ta đến Gottingen Univ (trung tâm k/h hồi đó của Đức), khỏang 1915, Hilbert's pupils ở đó sau khi được biết idea của Einstein chỉ cần không đến 1 tuần là đưa ra được kết quả mà Einstein cần đến vài năm. H. Poincare nếu có idea của Einstein chắc chỉ cần vài tuần là có thể đưa ra general relativity.
Nhiều kết quả toán học đơn giản về p/t Einstein sau đó ông ta cũng .... không hiểu. More sophisticated math results thì ông ta lại càng không hiểu !
Yeah, ông ta là genius, không ai phủ nhận, nhưng không phải là mathematical genius. Đem ông ta ra, hoặc trích dẫn ông ấy khi nói chuyện về Toán là irrelevant !!
Nhiều trang với nhiều ký hiệu lằng ngoằng không nhất thiết phải là Toán khó. Tôi đảm bảo Einstein không giỏi toán hơn bạn giỏi toán nhất ở lớp Toán 2

Còn bác nói ông Einstein dốt toán thì em ko được bằng lòng cho lắm, bác biết đấy, tất cả các bộ môn khoa học đều dính ít nhiều đến Toán. Nếu bác đã từng xem qua cái tài liệu về thuyết tương đối của Einstein thì bác sẽ thấy nếu ko phải là một người giỏi (thậm chí cực kỳ giỏi) Toán thì ko bao giờ có thể thành công được. Em nói vậy chẳng phải là em có thể hiểu được cái thuyết tương đối, mà chẳng qua em thấy nó loằng ngoằng mấy công thức Toán 1 cách đáng sợ, mà ko biết bao nhiêu trang loằng ngoằng như thế

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Anh không hề có ý định viết ở HAO, đã viết tùm lum ở chỗ khác 5-6 năm về trước rồi, nhưng thấy có anh bạn trẻ tổng quát hóa sai nên lại phải viết!
Thỉnh thỏang anh lôi Toán ra nói chuyện cho đỡ buồn ngủ là chính ) Mong muốn là nó thú vị cho một vài bạn ở đây Còn nếu chẳng may |-) nó giúp được cho một vài bạn học sinh, sinh viên hiểu thêm ít nhiều vẻ đẹp của Toán học =; thì ... càng tốt

Còn chuyện "dốt tóan" của ông ABC thì anh cường điệu cho vui :-$, để mọi ng không đặt ông ấy lên bàn thờ, thờ như thờ Thánh. Dốt ở đây là so sánh tương đối ông ABC với bọn to đầu trong làng Toán thế giới. Chứ so năng khiếu Toán của ông ta với ng bình thường đi ngoài phố thì ông ấy vẫn rất giỏi Tư duy của Einstein rất khác thường. Nhưng, nếu bắt ông ấy đi thi đội tuyển Toán của VN thì anh dám chắc là ông ấy không có giải gì >-

 

[Vũ Đình Hoàng (Moonlife)]

Bác Hưng đây chắc ít ra cũng phải tiến sĩ Toán, thậm chí post Doc Toán ý chứ nhỉ? Nhưng mà này, có lẽ bác ko nhận ra... bác có thể post bài cho anh em HAO đọc bằng tiếng Việt 100% được ko bác. Em thì vốn 1 chữ bẻ đôi tiếng Anh ko biết, tiếng Pháp thì có bặp bẹ được vài câu. Đọc bài của bác, bác đệm ác tiếng Anh quá em đoán ko ra Hic, đây có vẻ cũng là 1 vấn đề khá nghiêm trọng đấy nhỉ? Nói ko phải bác bỏ quá cho em, nhưng em thấy 2 anh em người Việt nói chuyện với nhau mà cứ xì xồ tiếng Tây nó thế nào ý... Bác thử nghĩ em bây giờ em cũng thỉnh thoảng đệm vài từ tiếng Pháp hay tiếng Tây Ban Nha vào, bác đọc bác có ngứa ko?

Xin lỗi bác nhé, em chả có ý gì đâu

 

[Nguyễn Thanh Thảo (Violethn)]

Ý kiến của Em Hoàng được đấy, hay tiện đà post bài, bác Hưng dịch ra tiếng Việt để bọn em hiểu kỹ càng vấn đề, chứ bác nói chuyện với toàn anh chị em ở FR lại sử dụng tiếng Anh... thì em cho là đánh đố nhau quá... anyway, em cũng hiểu được đến 60 %... thế mà đã ngất rồi... chứ hiểu hết như chị Giao, chắc không biết đường từ hospital về nhà đâu...

@bác Hưng: Em nghĩ là bác phải đạt đến cấp Viện sĩ rồi ý nhỉ... siêu quá, em hơn 10 năm không học toán, nên đồng tình với em Hoàng thôi. )

 

[Ngô Tố Giao (togiao)]

Nói thật ra nếu như cho chị đọc một bài viết tương tự như trên mà bằng tiếng Việt thì chị còn thấy rắc rối và khó hiểu hơn bởi vô số những thuật ngữ đọc bằng tiếng Việt cực kì tối ý. Chẳng tranh cãi về vấn đề tiếng ngoại ngữ hay tiếng mẹ đẻ là hơn, nhưng cũng không nên chỉ vì ta là người Việt Nam phải dùng tiếng Việt Nam mà bỏ qua không thèm xem xung quanh thế giới họ nói gì bằng thứ tiếng không phải tiếng Việt.

Nhân tiện nói về Einstein, tự dưng lại nhớ ra chuyện này.

Có một lần nhà nghệ sỹ hài nổi tiếng Charles Chaplin cùng với nhà thiên tài Einstein đi đến nhà hát. Mọi người khi nhìn thấy 2 ông thì vỗ tay đón mừng nồng nhiệt. Charles quay sang nói với Einstein " Họ vỗ tay hoan hô ông vì họ không hiểu nổi những gì ông nói. Họ vỗ tay hoan hô tôi vì họ hiểu hết tất cả những gì tôi nói."

Có những thứ kì bí, chẳng bao giờ hiểu nổi, ta nhìn nó với con mắt ngưỡng mộ. Có những thành quả mà khi ta làm được, đạt được ta cũng nhìn nó với con mắt ngưỡng mộ không kém. Thế nhưng lại có những thứ nửa vời, bỏ thì thương vương thì tội, cả đời mê mải đi tìm rồi cũng chẳng bao giờ tới đích. Sẽ tốt hơn biết bao nhiêu nếu như ngay từ đầu ta biết rằng sẽ không bao giờ ta có thể hiểu hết nổi 1 điều gì đó ta liền cố gắng đừng tìm hiểu nó nữa hoặc hãy cố tình không hiểu để cho ta còn có cái gì đó để mà ngưỡng mộ, tôn thờ.

Như toán học chẳng hạn, biết trước là chẳng bao giờ có thể làm thần đồng toán cả nên mình chẳng theo đuổi môn toán làm gì, đeo đuổi mấy anh học chuyên toán thích hơn nhiều. Mà với các anh ấy cũng chỉ nên đứng từ xa mà ngưỡng mộ, tôn thờ thôi chứ cũng không nên mon men tiến lại gần hơn.

 

[Vũ Việt Anh (vietanh_munchen)]

Ý kiến của Em Hoàng được đấy, hay tiện đà post bài, bác Hưng dịch ra tiếng Việt để bọn em hiểu kỹ càng vấn đề, chứ bác nói chuyện với toàn anh chị em ở FR lại sử dụng tiếng Anh... thì em cho là đánh đố nhau quá... anyway, em cũng hiểu được đến 60 %... thế mà đã ngất rồi... chứ hiểu hết như chị Giao, chắc không biết đường từ hospital về nhà đâu...

@bác Hưng: Em nghĩ là bác phải đạt đến cấp Viện sĩ rồi ý nhỉ... siêu quá, em hơn 10 năm không học toán, nên đồng tình với em Hoàng thôi. )

Té ra chị Thảo ngoài nấu ăn ngon, làm kinh tế giỏi lại ở Pháp và thích nghiên cứu Toán. Chị Thảo cứ y như các chị U20 mà ngày xưa em tán hồi đại học, yêu chị Thảo quá đi mất.

P.S Em gúc gồ được một loạt những bài giống những cái bác Hưng bốt ở trên bằng tiếng Pháp, chị có nhu cầu đọc hiểu 100% thì em gửi cho. :razz:

 

[Nguyễn Thanh Thảo (Violethn)]

Ơ, hóa ra em Việt Anh cũng nghiên cứu toán à?, Thanks em đã có nhã ý send "tác phẩm nghiên cứu toán học" cho chị... mà lại bằng tiếng Pháp, nhưng chị nói rồi đấy, hơn 1 chục năm không học toán, đọc bài của bác Hưng đã xỉu rồi, đến bài của em Việt Anh nữa thì khi ra đường chị lại vừa đi vừa cười...... đấy em xem... ý kiến của chị Giao hay quá... tôn thờ thôi, chả dám tiếp cận... nhỡ chẳng may... Chị Giao nhỉ?

@chị Giao: đã gọi là theo đuổi, thì phải úp cho được chứ... theo đuổi rồi không dám mon men đến gần... phí công lắm chị ạ )

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Nói chuyện tiếp về Toán nhỉ >-

Chúng ta bây giờ thử nghĩ 1 tẹo về tính không đầy đủ của Toán trong 1 context thuần túy toán học ở bậc cơ sở nhất (không nói chuyện meta-xxx nữa) xem sao nhỉ
OK, ai cũng biết thế nào là số tự nhiên rồi nhỉ, số thực cũng vậy, phải không(?).
Giờ ta gọi lực lượng các số tự nhiên là A, lực lượng các số thực là B.
Câu hỏi bây giờ đặt ra là: giữa A và B có số (cardinal number) nào nữa không, hay nói 1 cách dễ hiểu hơn là, có tồn tại tập hợp nào đó có lực lượng nằm giữa A và B hay không?

Liệu câu hỏi tưởng chừng đơn giản đó có phân định được đúng/sai không? Trong hệ tiên đề nào về số thực thì nó là phân định được? Nó liên quan thế nào với các tiên đề khác, vd. tiên đề lựa chọn?

 

[Nguyễn Hoàng Mai (NguyenMai)]

các bác làm ơn cho em hỏi, 1.(9) là số vô tỉ hay hữu tỉ?
với cả cho em hỏi bài toán fecma là bài toán như thế nào y' nhi?

tháng trước em vừa có dịp đi nghe 1 buổi lecture của 1 giáo sư ở đại học Cambridge. Ông này đã chứng minh là có thể vẽ được số lớn nhất. bác nào đã từng nghe qua vấn đề này có thể đề cập lại cách chứng minh được ko ạ? em hôm đấy nghe cũng nhập nhoằng ko hiểu lắm mà ko biết tìm thông tin ở đâu.

thanks các bác nhá

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

các bác làm ơn cho em hỏi, 1.(9) là số vô tỉ hay hữu tỉ?
với cả cho em hỏi bài toán fecma là bài toán như thế nào y' nhi?

1) là số vô tỉ. Chứng minh nó 1 bài tập về nhà hạng muỗi cho các bạn lớp 11.
2) x^n+y^n=z^n, không có nghiệm nguyên cho n>=3. Chứng minh nó khá rối rắm, ng ta mới biết vẻn vẹn có 1 cách dài gần 200 trang được công bố 10 năm trước, kiểm tra từng bước cũng khá mệt đối với các nhà toán học hàng đầu.

tháng trước em vừa có dịp đi nghe 1 buổi lecture của 1 giáo sư ở đại học Cambridge. Ông này đã chứng minh là có thể vẽ được số lớn nhất. bác nào đã từng nghe qua vấn đề này có thể đề cập lại cách chứng minh được ko ạ? em hôm đấy nghe cũng nhập nhoằng ko hiểu lắm mà ko biết tìm thông tin ở đâu.
thanks các bác nhá

Vẽ số 8 quay nó đi 90 độ, cùng chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ, đơn giản thế đấy.

À mà mấy câu hỏi trên liên quan đến tính không đầy đủ của toán học như thế nào nhỉ?

 

[Phạm Hoàng Lê (phl)]

Bác Hưng xem lại cho em chứ em nghĩ 1.(9) là số thập phân vô hạn tuần hoàn ,phải là số hữ tỉ chứ ? :-/

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Bác Hưng xem lại cho em chứ em nghĩ 1.(9) là số thập phân vô hạn tuần hoàn ,phải là số hữ tỉ chứ ? :-/

) Đúng rồi, thử xem các chú có tỉnh táo không >- Thực ra thì là thế này: 1.(9)=18/9=2 tức là số hữu tỷ. Tất cả các số có đuôi sau dấu phẩy (9) vô hạn đồng nhất với số hữu tỉ gần nhất với nó eg.
0.(9)=1; 1.3(9)=1.4; 2.76(9)=2.77; 8.238(9)=8.239; etc.
Chú Lê anh tặng 10 điểm

 

[Nguyễn Hoài Anh (Popeye)]

Giờ ta gọi lực lượng các số tự nhiên là A, lực lượng các số thực là B.
Câu hỏi bây giờ đặt ra là: giữa A và B có số (cardinal number) nào nữa không, hay nói 1 cách dễ hiểu hơn là, có tồn tại tập hợp nào đó có lực lượng nằm giữa A và B hay không?

về câu hỏi này thì em nhớ hồi trước có đọc ở đâu đó là nó có đúng hay sai thì cũng ko ảnh hưởng gì đến những gì chúng ta đang học cả :mrgreen:

 

[Nguyễn Thành Trung (nt2)]

Thật ra bác Hưng giải thích 1.(9) = 2 như thế cũng chưa thuyết phục lắm, vì mọi người nhìn vào 1.(9) = 1.99999.... < 2 cũng như là 1/2 + 1/4 + 1/8 +... = 1 ấy. Theo em thì là thế này dễ hiểu hơn: 1.(9) = 1 + 9 * 0.(1), mà 0.(1) = 1/9 (ai không tin thì cứ kiểm tra) => 1.(9) = 1 + 9 * 1/9 = 2;

Còn câu hỏi mà bác Hưng đặt ra em nghĩ thế này: cái tập mà bác cần tìm là tập Q chứ còn gì nữa: cardN < cardQ < cardR vì N là tập con của Q => cardN <= cardQ, nhưng Q không equivalent với 1 tập con nào của N => cardQ > cardN. Còn cardQ < cardR thì hiển nhiên rồi vì Q là tập con của R mà Q là tập đếm đuợc, R la tập không đếm được.

 

[Nguyễn Phương Chi (Lov3 of May)]

Anh có thể giải thích rõ hơn thế nào là tập đếm được và thế nào là tập ko đếm được ko?

 

[Nguyễn Hoàng Mai (NguyenMai)]

- bài toán fecma đã có cách giải thứ 2 rồi mà, em hỏi cái cách thứ 2 cơ
- vô cùng chi là 1 ki' hiệu toán học thôi, nó ko tượng trưng cho số lớn nhất...em hỏi số lớn nhất cơ...