Cho em hỏi về toán một tẹo
- Bắt đầu huvm
- Ngày bắt đầu
Trần Đức Anh
(huvm)
New Member
Hay đấy ! Em thích học phần số đại số và số siêu việt lắm.
Không biết mọi người có ai có sách gì hay về vấn đề này không ?
Theo em được biết có kết quả sau đây: các số có dạng a^b với a dương khác 1 là số đại số, b là số vô tỉ thì đều là số siêu việt.
Chứng minh nó dùng những kiến thức , với trình độ em bây giờ thì chưa thể hiểu nổi cái hay cái đẹp được.
Còn bài toán trên: e là khó nếu không dùng kiến thức mạnh.Mà nếu viết chứng minh ra thì
, chúng ta cười với nhau thôi.
Tiện thể em muốn hỏi các anh giỏi toán : đọc quyển Bài giảng giải tích của thầy Nguyễn Duy Tiến : ngay trang đầu đề cập đến 3 phương pháp xây dựng số thực:
- Phương pháp Dedekind
- Phương pháp dãy Cauchy
- Phương pháp tiên đề .
Em mới thấy sách đề cập tới phương pháp thứ 1 và 3, còn 2 em không tìm thấy ở đâu cả(tất nhiên là em có ít sách rồi). Ai có thể chỉ cho em sách có phương pháp thứ 2.
Không biết mọi người có ai có sách gì hay về vấn đề này không ?
Theo em được biết có kết quả sau đây: các số có dạng a^b với a dương khác 1 là số đại số, b là số vô tỉ thì đều là số siêu việt.
Chứng minh nó dùng những kiến thức , với trình độ em bây giờ thì chưa thể hiểu nổi cái hay cái đẹp được.
Còn bài toán trên: e là khó nếu không dùng kiến thức mạnh.Mà nếu viết chứng minh ra thì
, chúng ta cười với nhau thôi.Tiện thể em muốn hỏi các anh giỏi toán : đọc quyển Bài giảng giải tích của thầy Nguyễn Duy Tiến : ngay trang đầu đề cập đến 3 phương pháp xây dựng số thực:
- Phương pháp Dedekind
- Phương pháp dãy Cauchy
- Phương pháp tiên đề .
Em mới thấy sách đề cập tới phương pháp thứ 1 và 3, còn 2 em không tìm thấy ở đâu cả(tất nhiên là em có ít sách rồi). Ai có thể chỉ cho em sách có phương pháp thứ 2.
Nguyễn Hoàng Dũng
(ThomasTran)
New Member
Trần Đức Anh đã viết:Hay đấy ! Em thích học phần số đại số và số siêu việt lắm.
Không biết mọi người có ai có sách gì hay về vấn đề này không ?
Theo em được biết có kết quả sau đây: các số có dạng a^b với a dương khác 1 là số đại số, b là số vô tỉ thì đều là số siêu việt.
Chứng minh nó dùng những kiến thức , với trình độ em bây giờ thì chưa thể hiểu nổi cái hay cái đẹp được.
Còn bài toán trên: e là khó nếu không dùng kiến thức mạnh.Mà nếu viết chứng minh ra thì
Tiện thể em muốn hỏi các anh giỏi toán : đọc quyển Bài giảng giải tích của thầy Nguyễn Duy Tiến : ngay trang đầu đề cập đến 3 phương pháp xây dựng số thực:
- Phương pháp Dedekind
- Phương pháp dãy Cauchy
- Phương pháp tiên đề .
Em mới thấy sách đề cập tới phương pháp thứ 1 và 3, còn 2 em không tìm thấy ở đâu cả(tất nhiên là em có ít sách rồi). Ai có thể chỉ cho em sách có phương pháp thứ 2.
Phương pháp dãy Cauchy anh đoán chắc là phương pháp làm đầy đủ một không gian metric thôi ( từ Q thành R ). Mỗi phần tử của R khi đó sẽ tương ứng với một lớp tương đương các dãy Cauchy trong Q. Trong sách thầy Tiến có nói tới phương pháp này, ở phần không gian metric ( không thì cũng nói là phương pháp này ở sách nào )
Có thể anh đoán sai lắm, vì metric được định nghĩa sau khi đã có R, chứ nếu chỉ định nghĩa metric cho Q thì cũng chướng tai lắm. Nhưng ý tưởng chắc không sai là mấy đâu
. Tốt nhất em cứ xem đi thì sẽ biết , mà phần đấy khó hiểu phết đấy ,hehe b-)
Chỉnh sửa lần cuối:
Nguyễn Thu Vân
(vanams)
New Member
Ở đây có rất nhiều chủ đề hay để nghiên cứu, chỉ tiếc là toàn bằng tiếng Pháp:
http://www.mjc-andre.org/pages/amej/sujets/80sujets/espace_sujets.html
http://www.mjc-andre.org/pages/amej/sujets/80sujets/espace_sujets.html
Nguyễn Quang Hưng
(sonnet)
New Member
Nguyễn Hoàng Dũng đã viết:Phương pháp dãy Cauchy anh đoán chắc là phương pháp làm đầy đủ một không gian metric thôi ( từ Q thành R ). Mỗi phần tử của R khi đó sẽ tương ứng với một lớp tương đương các dãy Cauchy trong Q. Trong sách thầy Tiến có nói tới phương pháp này, ở phần không gian metric ( không thì cũng nói là phương pháp này ở sách nào )
Có thể anh đoán sai lắm, vì metric được định nghĩa sau khi đã có R, chứ nếu chỉ định nghĩa metric cho Q thì cũng chướng tai lắm. Nhưng ý tưởng chắc không sai là mấy đâu
Cậu Dũng này toàn dọa em nó thế, thực ra có khó gì pp2 đâu nhỉ, bọn châu Âu nó dạy pp2 vs pp3 ngay những tiết đầu năm 1 của ĐH đó. Nói thêm là pp1 thì chỉ còn thịnh hành ở Soviet cũ và Việtnam thôi. Tôi nói thế không phải là bọn Âu châu không biết hay ghét ông Dedekin ng Nga này, cơ bản là chúng nó không dạy ở năm 1 những thứ không cần thiết, làm khổ sinh viên thêm.
pp2 có thể hiểu đơn giản thế này. Trong không gian véc tơ X các dãy số hữu tỉ, tức là mỗi dãy số hữu tỉ là 1 véc tơ (1 phần tử, 1 điểm tùy cách nhìn), cộng véc tơ và nhân với phần tử trường K được định nghĩa 1 cách hiển nhiên, bạn dẫn vào 1 quan hệ tương đương như sau:
a= (a_i), b=(b_j) hai dãy số hữu tỉ,
a ~ b khi và chỉ khi với mọi epsilon dương, tồn tại số tự nhiên L sao cho
với mọi số tự nhiên: n,m > L thì |a_n - b_m| < epsilon.
Với quan hệ tương đương này thì nó chia X ra thành các lớp tương đương, mỗi lớp tương đương là 1 số thực, có nghĩa là không gian thương X/~ chính là không gian các số thực. Định nghĩa số thực là như thế, bạn phải chỉ ra là nó tương đương với 2 cách định nghĩa còn lại.
Trường số thực (topo) cũng có thể định nghĩa từ trường thương của số hữu tỉ Q/~ như trên. Nói cách khác, cấu trúc đại số thương định nghĩa được cũng rất tự nhiên.
PP này dễ dàng áp dụng mở rộng được sang không gian metric bất kỳ, không cần cả cấu trúc véc tơ gì hết, nhưng với điều kiện phải thay dãy số đánh số = tập hợp số tự nhiên bằng "dãy mở rộng" (eg. filtr, ordered set), và đó là cách làm đầy đủ không gian metric (M ---> completed M). Đó là cái mà cậu Dũng nói đến đấy
Còn cách làm đầy đủ không gian metric bằng phép toán đóng trong topo thì còn đẹp hơn nữa, đỡ phải viết nhiều như thế.Về bài toán số siêu việt thì nó có trong quyển của Lang, thời SV tôi dùng nó, và nhiều sách khác nữa. Muốn đọc về số siêu việt thì có nhiều Textbooks lắm, nó xuất hiện cả trong lý thuyết số, lẫn môn đại số 2 (kỳ 4) sau lý thuyết Galois. Tiếp cận nó 1 cách sơ cấp thích hợp cho học sinh và amateurs thì eg. có cuốn này khá mới, bạn thử xem:
E. Burger and R. Tubbs. Making Transcendence Transparent, An Intuitive Approach to Classical Transcedental Number Theory.
Huỳnh Trung Anh
(trunganh)
New Member
Hay quá, em cũng đang tập tạnh đọc sách giải tích của thầy Nguyễn Duy Tiến, nhưng mà hiểu được ít lắm, mà chỗ em đánh dấu chấm hỏi thì nhiều vô kể. Các anh bình luận từng trang sách giúp em với, chứ không thì em chịu mất.
Có một định lý mà em không nhớ rõ lắm như thế này: với mọi số thực n đều có n<1+1+...+1 với hữu hạn số 1 thì phải, mà hình như trong sách ở dạng hơi khác. Trong khi đó ở sách khác em lại thấy người ta để nó là tiên đề ác si mét. Mà em thấy hình như trong chứng minh cũng có dùng tiên đề đó thì phải. Em cũng không hiểu nữa. Khi liệt kê các tiên đề ở đầu sách thì em không thấy có tiên đề này. Các anh giúp em với.
Có một định lý mà em không nhớ rõ lắm như thế này: với mọi số thực n đều có n<1+1+...+1 với hữu hạn số 1 thì phải, mà hình như trong sách ở dạng hơi khác. Trong khi đó ở sách khác em lại thấy người ta để nó là tiên đề ác si mét. Mà em thấy hình như trong chứng minh cũng có dùng tiên đề đó thì phải. Em cũng không hiểu nữa. Khi liệt kê các tiên đề ở đầu sách thì em không thấy có tiên đề này. Các anh giúp em với.
Nguyễn Quang Hưng
(sonnet)
New Member
Tôi lâu không theo dõi các sách giải tích xb ở VN, nhưng những quyển trước đây tôi xem thì thấy không đạt, khá phiến diện. Thế giới phương Tây dân học Toán (chính thống) dùng cuốn 2 tập của Rudin, hoặc bộ mono 2 tập của Schwarz (ông này có giải Fields về lý thuyết distribution). Những sách giải tích lý thuyết của Nga cho 2 năm đầu ở ĐH bây giờ thế giới văn minh không ai đọc, nhưng sách bài tập của Nga thì vẫn rất đỉnh, luyện tập theo những quyển bài tập chứa nhiều vấn đề khó thì kỹ năng rất tốt. Tôi không rõ 2 cuốn này đã được dịch ra tiếng Việt chưa. Ông viện sĩ Schwarz (French) rất yêu Việt Nam và đã tới thăm VN vài lần. Trong các nhà toán học lớn nhất của Pháp TK20 có viện sĩ Gronthendieck (ông này cũng có medal Fields) là yêu VN nhất. Ông ta vì lý tưởng chống chiến tranh đã tới VN làm seminar ở khoa Toán cơ ĐHKHTN (ĐHQG HN) từ 1965, thời còn sơ tán trên Tuyên Quang với lều tranh và đèn dầu. Thời đó chắc không ai ở khoa Toán hiểu kỹ những vấn đề ông ta nói =;
Nguyễn Quang Hưng
(sonnet)
New Member
Borsuk-Ulam vs Ham-Sandwich Cut theorems
Hôm nay tôi mới đọc bài này, xin có vài góp ý vì tôi thấy các bạn trẻ hiểu sai vấn đề nhiều quá! Dạo này tôi thấy các bạn lớp Anh nói chuyện nhiều thứ khó quá nhỉ, toàn thấy vác toán cao cấp ra chơi thôi à Well, để có thể tán vui về toán cao cấp cũng đòi hỏi hiểu rất sâu về toán, vì nếu không sẽ dễ thành .... tán bậy.
Bài này không phải là hệ quả của định lý Borsuk-Ulam đâu. Định lý Borsuk-Ulam khẳng định là với ánh xạ bất kỳ liên tục từ mặt cầu n chiều S^n vào không gian euclidean R^n, luôn tồn tại 1 cặp điểm đối cực (đối xứng qua tâm mặt cầu) có cùng ảnh qua f, tức là tồn tại (x,-x), x trong R^n, sao cho f(x)=f(-x).
Ngoại trừ trường hợp n=1, đối với đường tròn và ánh xạ liên tục từ đường tròn vào trục số thực, có thể chứng minh "đơn giản" bằng giải tích (1 dòng) nhờ tính chất hàm liên tục. Các trường hợp còn lại, với n>=2 không dễ gì chứng minh được bằng kiến thức phổ thông, tôi biết là cho tới thời điểm này không có cách nào cả. Các bạn đừng ngạc nhiên, các bạn hãy thử thay mặt cầu bằng hình cầu chẳng hạn, hoặc bằng tori (cái phao), kết quả trên trở thành không đúng, có nghĩa là kết quả đó có thể đoán ra là hệ quả của các đặc trưng tôpô không tầm thường của mặt cầu.
Tuy nhiên, nó có thể chứng minh rất ngắn và đẹp bằng pp tôpô đại số. Sinh viên học topo đại số kỳ thứ 2, năm 3-4 ở châu Âu, năm cuối undergrad hoặc ở bậc grad ở các trường (loại A,B+,B) Mỹ có học cái này. Định lý Borsuk-Ulam có nhiều cách phát biểu tương đương nữa, và có liên quan đến định lý trải tóc cho mặt cầu. Vào khoảng thập kỷ 70 và 80 TK20 ng ta bắt đầu phát triển mạnh pp giải tích hàm mới cần thiết cho vấn đề định lý điểm bất động trong các không gian metric, và nhờ các pp đó đã có thể chứng minh định lý Borsuk-Ulam thuần túy bằng giải tích, hoàn toàn không cần đến tôpô đại số. Khi nào có đ/k tôi sẽ nói chuyện với các bạn về những kết quả này, mặc dù nó là đề tài thích hợp cho chuyên đề sau ĐH.
Còn về định lý cắt bánh (ham-sandwich-cut theorem) thì sinh viên học Toán nói chung không học qua, ngoại trừ những ai đi về lý thuyết tổ hợp biết đến. Định lý này khẳng định là nếu cho trước n tập hợp hữu hạn các điểm trong không gian euclidean n chiều R^n, luôn tồn tại 1 nhát cắt đồng thời cưa đôi tất cả các tập hợp đó. "Nhát cắt" ở đây hiểu là siêu mặt phẳng trong R^n, còn "cưa đôi" được định nghĩa chính xác là khi mỗi nửa không gian (do nhát cắt tạo ra) có chứa cùng lắm là phần nguyên của một nửa số phần tử của mỗi tập hợp.
Nói thật là tôi chưa nhìn thấy cái liên hệ gì sâu sắc giữa 2 định lý, có thể nó tồn tại thật, nhưng tôi chưa thấy.
Hôm nay tôi mới đọc bài này, xin có vài góp ý vì tôi thấy các bạn trẻ hiểu sai vấn đề nhiều quá! Dạo này tôi thấy các bạn lớp Anh nói chuyện nhiều thứ khó quá nhỉ, toàn thấy vác toán cao cấp ra chơi thôi à
Well, để có thể tán vui về toán cao cấp cũng đòi hỏi hiểu rất sâu về toán, vì nếu không sẽ dễ thành .... tán bậy. Bài này không phải là hệ quả của định lý Borsuk-Ulam đâu. Định lý Borsuk-Ulam khẳng định là với ánh xạ bất kỳ liên tục từ mặt cầu n chiều S^n vào không gian euclidean R^n, luôn tồn tại 1 cặp điểm đối cực (đối xứng qua tâm mặt cầu) có cùng ảnh qua f, tức là tồn tại (x,-x), x trong R^n, sao cho f(x)=f(-x).
Ngoại trừ trường hợp n=1, đối với đường tròn và ánh xạ liên tục từ đường tròn vào trục số thực, có thể chứng minh "đơn giản" bằng giải tích (1 dòng) nhờ tính chất hàm liên tục. Các trường hợp còn lại, với n>=2 không dễ gì chứng minh được bằng kiến thức phổ thông, tôi biết là cho tới thời điểm này không có cách nào cả. Các bạn đừng ngạc nhiên, các bạn hãy thử thay mặt cầu bằng hình cầu chẳng hạn, hoặc bằng tori (cái phao), kết quả trên trở thành không đúng, có nghĩa là kết quả đó có thể đoán ra là hệ quả của các đặc trưng tôpô không tầm thường của mặt cầu.
Tuy nhiên, nó có thể chứng minh rất ngắn và đẹp bằng pp tôpô đại số. Sinh viên học topo đại số kỳ thứ 2, năm 3-4 ở châu Âu, năm cuối undergrad hoặc ở bậc grad ở các trường (loại A,B+,B) Mỹ có học cái này. Định lý Borsuk-Ulam có nhiều cách phát biểu tương đương nữa, và có liên quan đến định lý trải tóc cho mặt cầu. Vào khoảng thập kỷ 70 và 80 TK20 ng ta bắt đầu phát triển mạnh pp giải tích hàm mới cần thiết cho vấn đề định lý điểm bất động trong các không gian metric, và nhờ các pp đó đã có thể chứng minh định lý Borsuk-Ulam thuần túy bằng giải tích, hoàn toàn không cần đến tôpô đại số. Khi nào có đ/k tôi sẽ nói chuyện với các bạn về những kết quả này, mặc dù nó là đề tài thích hợp cho chuyên đề sau ĐH.
Còn về định lý cắt bánh (ham-sandwich-cut theorem) thì sinh viên học Toán nói chung không học qua, ngoại trừ những ai đi về lý thuyết tổ hợp biết đến. Định lý này khẳng định là nếu cho trước n tập hợp hữu hạn các điểm trong không gian euclidean n chiều R^n, luôn tồn tại 1 nhát cắt đồng thời cưa đôi tất cả các tập hợp đó. "Nhát cắt" ở đây hiểu là siêu mặt phẳng trong R^n, còn "cưa đôi" được định nghĩa chính xác là khi mỗi nửa không gian (do nhát cắt tạo ra) có chứa cùng lắm là phần nguyên của một nửa số phần tử của mỗi tập hợp.
Nói thật là tôi chưa nhìn thấy cái liên hệ gì sâu sắc giữa 2 định lý, có thể nó tồn tại thật, nhưng tôi chưa thấy.
Tran Hoang Van đã viết:Nào post rồi đi ngủ |-)
Ham-sandwich-cut-theorem (Hay la Borsuk-Ulam-Theorem) đại loại như sau (chị diễn đạt hơi bị kém, lại còn ko phải dân toán nữa)
Trong một vũng ko gian n-chiều (n-dimensional space) luôn tồn tại một "mặt hyper" (hyperplane), sao cho mặt này chia n loại phần từ/thành phần/vùng con... (Region/Subset) trong vùng ko gian đúng làm đôi.
Hyperplane có thể hiểu nôm na như sau: (hic cái gì cũng đại loại với cả nôm na) khái niệm đc tổng quát hóa lên từ mặt phẳng trong ko gian 3 chiều. Tức là hyperplane của ko gian 3 chiều là mặt phẳng, hyperplane của ko gian 4 chiểu là một ko gian 3 chiều, ... của ko gian n-chiều là một ko gian (n-1) chiều.
Bài của em Phương n=2: ko gian 2 chiều (=mặt phẳng) và hyperplane là đường thẳng, 2 Subsets là rubi và kim cương. Theo Borsuk Ulam luôn tồn tại một nhát cắt chia số rubi và kim cương làm đôi.
Cái tên của định lý này bắt nguồn từ trường hợp n=3. Trong ko gian 3 chiều em có một cái sandwich với 3 thành phần là nửa bành dưới, thịt nguội và nửa bánh trên (có vừng, để phân biệt là khác nửa bên dưới
Hic phần chứng minh tống quát thì lùng bùng lắm, chị thấy chị lảm nhảm đến đây đã là lùng bùng lắm rồi :-B Thôi các anh chuyên toán giúp em Phương tiếp nhé
Nguyễn Hoàng Dũng
(ThomasTran)
New Member
Re: Borsuk-Ulam vs Ham-Sandwich Cut theorems
)
Như vậy là qua bài viết của anh thì có thể thấy có một phiên bản nữa của định lý cắt bánh trong toán tin, và lần này là cắt những cái bánh là một tập hợp rời rạc.
Chào anh Hưng. Em thấy xuất phát điểm của định lý cắt bánh là ở trong tô pô đại số: Cho ba cái bánh ( bánh thật ) trong không gian thì tồn tại một mặt phẳng cắt đôi về thể tích cả 3 cái bánh đó . Từ định lý Borsuk-Ulam suy ra ngay định lý trên. ( Đố anh Hưng chứng minh đượcNG Quang Hưng đã viết:
)Như vậy là qua bài viết của anh thì có thể thấy có một phiên bản nữa của định lý cắt bánh trong toán tin, và lần này là cắt những cái bánh là một tập hợp rời rạc.
Nguyễn Quang Hưng
(sonnet)
New Member
Re: Borsuk-Ulam vs Ham-Sandwich Cut theorems
Cám ơn chú Dũng nhé, quả thực là định lý cắt bánh (Ham Sandwich theorem) là hệ quả của định lý Borsuk-Ulam thật, thế mà trước đây anh không biết! Chắc là tại ngày xưa lười đi học topo đại số quá, có khi ngày xưa ng ta dạy mà mình không thèm nghe =; :-$
Thực ra mới nhìn qua thì không thể thấy được chuyện hệ quả, nhưng khi biết chắc là nó là hệ quả vì có người khác đố mình, thì chứng minh nó không còn là điều khó nữa. Ý tưởng chính của chứng minh là như sau: với mỗi một hướng nhất định có 3 mặt phẳng song song (vuông góc với hướng đó) chia đôi mỗi cái bánh, vấn đề là phải chỉ ra có ít nhất 1 hướng mà 3 mặt phẳng đó trùng nhau.
a) với lý lẽ ở trên sẽ có 3 hàm số thực f_{A},f_{B},f_{C}: S^2 ---> R được định nghĩa như sau f_{A}(x) = khoảng cách từ x đến mặt phẳng cưa đôi bánh A, tương tự cho f_{B} và f_{C}. Lưu ý là f_{A}(-x) = 2-f_{A}(x), tương tự cho các hàm f_{B},f_{C}, với mọi x trên S^2.
Vấn đề là phải chứng minh tồn tại p sao cho qua f_{A},f_{B},f_{C} có cùng ảnh, tức là f_{A}(p)=f_{B}(p)=f_{C}(p). Chỗ này phải dùng B-U theorem.
b) dễ thôi à, định nghĩa hàm liên tục g: S^2 ---> R^2 như sau:
g(x)= ( f_{A}(x)-f_{B}(x) , f_{B}(x)-f_{C}(x) ) ; theo định lý Borsuk-Ulam thì phải có cặp (p,-p) có cùng ảnh g(p)=g(-p), tức là f_{A}(p)-f_{B}(p)=f_{A}(-p)-f_{B}(-p)=f_{B}(p)-f_{A}(p) từ đây suy ra f_{A}(p)=f_{B}(p); và tương tự f_{B}(p)=f_{C}(p). Kết thúc chứng minh! Phần thưởng chắc là 2 trong 3 cái bánh nhỉ>-
Nói là hệ quả nhưng chứng minh cũng là 1 bài tập quá sức của các bạn lớp Anh nhiều
Nói là 3 cái bánh cho các bạn học sinh đỡ sợ thôi, chứ đúng ra nó phải là 3 tập hợp đo được, có thể tích hữu hạn. Lý do chính mà tôi loại bỏ vấn đề cắt bánh ra khỏi topo đại số vì vấn đề độ đo, tập hợp đo được là vấn đề nằm ngoài topo đại số, và nó cũng là 1 vấn đề tôi rất nhạy cảm. Cắt ghép 1 tập hợp đo được thành các tập hợp không đo được rồi dùng các phép toán bảo toàn thể tích (như tịnh tiến, quay) ghép chúng lại, thể tích chúng sẽ 0 còn bảo toàn nữa. Từ 1 hạt cát bé tí hon bạn có thể cắt nhỏ ra, rồi ghép lại thành 1 mặt trời khổng lồ sau 1 số hữu hạn bước.
Btw. Borsuk là một trong số biggest topologists thế kỷ 20, học trò (phd student) của Mazurkiewicz, ông Mazurkiewicz này lại là học trò của Sierpiński (tất cả các phd students của Sierpiński đều brilliant, trong đó Kuratowski, Saks, Aronszajn, Zygmunt, Knaster) còn Ulam là học trò của Banach, ông tổ của giải tích hàm. Tất cả những người này là các nhà toán học (Ba lan) cự phách của thế giới trong TK20. Học trò giỏi nhất của Borsuk là Eilenberg sau ở Columbia Univ., quyển Topo đại số Eilenberg viết hồi 1950 với Steenrod là cuốn kinh điển nhất. Ulam qua Princeton từ 1937, sau làm nhiều thứ lắm, từ Monte-Carlo method, đến hydrogen bomb, biomathematics, vv. Học trò của Borsuk như Sieklucki, Toruńczyk tôi có biết. Banach thì chết trẻ (ung thư), sống giữa 2 đại chiến thế giới chỉ có 2 học trò là Ulam và Mazur. Học trò của Mazur tôi đã từng học trực tuyến hoặc nghiền monographs thời SV ít nhất là 9 người (Rolewicz, Pełczyński, Kwapień, Macinkowska, Birkholc, Bojdecki, Bessaga, Kołodziej, Mauren). Borsuk chết 1982 để lại nhiều huyền thoại về tài năng đặc biệt trong cắt ghép topo (chirurgical operations) các vật thể phức tạp trong không gian nhiều chiều. Tuy nhiên, sinh viên thường thì không thích ổng, vì học ổng khó quá =; Cho dù tôi học nhiều ng là F-2 của Banach, tôi là thế hệ sinh viên F-4 của Banach, Ulam là F-1, tức là tôi gọi ông B là "kỵ" theo quan điểm phương đông, "thày" như "cha" =;
Nguyễn Hoàng Dũng đã viết:Chào anh Hưng. Em thấy xuất phát điểm của định lý cắt bánh là ở trong tô pô đại số: Cho ba cái bánh ( bánh thật ) trong không gian thì tồn tại một mặt phẳng cắt đôi về thể tích cả 3 cái bánh đó . Từ định lý Borsuk-Ulam suy ra ngay định lý trên. ( Đố anh Hưng chứng minh được
Cám ơn chú Dũng nhé, quả thực là định lý cắt bánh (Ham Sandwich theorem) là hệ quả của định lý Borsuk-Ulam thật, thế mà trước đây anh không biết! Chắc là tại ngày xưa lười đi học topo đại số quá, có khi ngày xưa ng ta dạy mà mình không thèm nghe =; :-$
Thực ra mới nhìn qua thì không thể thấy được chuyện hệ quả, nhưng khi biết chắc là nó là hệ quả vì có người khác đố mình
, thì chứng minh nó không còn là điều khó nữa. Ý tưởng chính của chứng minh là như sau: với mỗi một hướng nhất định có 3 mặt phẳng song song (vuông góc với hướng đó) chia đôi mỗi cái bánh, vấn đề là phải chỉ ra có ít nhất 1 hướng mà 3 mặt phẳng đó trùng nhau. -----------------------------------
Muốn vậy có thể làm chẳng hạn như sau. Đầu tiên nhét 3 cái bánh hổ lốn A,B,C đó vào 1 cái hộp hình cầu bán kính đơn vị. Mỗi hướng sẽ tương ứng 1 cặp điểm đối cực trên mặt cầu.a) với lý lẽ ở trên sẽ có 3 hàm số thực f_{A},f_{B},f_{C}: S^2 ---> R được định nghĩa như sau f_{A}(x) = khoảng cách từ x đến mặt phẳng cưa đôi bánh A, tương tự cho f_{B} và f_{C}. Lưu ý là f_{A}(-x) = 2-f_{A}(x), tương tự cho các hàm f_{B},f_{C}, với mọi x trên S^2.
Vấn đề là phải chứng minh tồn tại p sao cho qua f_{A},f_{B},f_{C} có cùng ảnh, tức là f_{A}(p)=f_{B}(p)=f_{C}(p). Chỗ này phải dùng B-U theorem.
b) dễ thôi à, định nghĩa hàm liên tục g: S^2 ---> R^2 như sau:
g(x)= ( f_{A}(x)-f_{B}(x) , f_{B}(x)-f_{C}(x) ) ; theo định lý Borsuk-Ulam thì phải có cặp (p,-p) có cùng ảnh g(p)=g(-p), tức là f_{A}(p)-f_{B}(p)=f_{A}(-p)-f_{B}(-p)=f_{B}(p)-f_{A}(p) từ đây suy ra f_{A}(p)=f_{B}(p); và tương tự f_{B}(p)=f_{C}(p). Kết thúc chứng minh! Phần thưởng chắc là 2 trong 3 cái bánh nhỉ
>- -----------------------------------
Nói là hệ quả nhưng chứng minh cũng là 1 bài tập quá sức của các bạn lớp Anh nhiều
Nói là 3 cái bánh cho các bạn học sinh đỡ sợ thôi, chứ đúng ra nó phải là 3 tập hợp đo được, có thể tích hữu hạn. Lý do chính mà tôi loại bỏ vấn đề cắt bánh ra khỏi topo đại số vì vấn đề độ đo, tập hợp đo được là vấn đề nằm ngoài topo đại số, và nó cũng là 1 vấn đề tôi rất nhạy cảm. Cắt ghép 1 tập hợp đo được thành các tập hợp không đo được rồi dùng các phép toán bảo toàn thể tích (như tịnh tiến, quay) ghép chúng lại, thể tích chúng sẽ 0 còn bảo toàn nữa. Từ 1 hạt cát bé tí hon bạn có thể cắt nhỏ ra, rồi ghép lại thành 1 mặt trời khổng lồ sau 1 số hữu hạn bước.
Btw. Borsuk là một trong số biggest topologists thế kỷ 20, học trò (phd student) của Mazurkiewicz, ông Mazurkiewicz này lại là học trò của Sierpiński (tất cả các phd students của Sierpiński đều brilliant, trong đó Kuratowski, Saks, Aronszajn, Zygmunt, Knaster) còn Ulam là học trò của Banach, ông tổ của giải tích hàm. Tất cả những người này là các nhà toán học (Ba lan) cự phách của thế giới trong TK20. Học trò giỏi nhất của Borsuk là Eilenberg sau ở Columbia Univ., quyển Topo đại số Eilenberg viết hồi 1950 với Steenrod là cuốn kinh điển nhất. Ulam qua Princeton từ 1937, sau làm nhiều thứ lắm, từ Monte-Carlo method, đến hydrogen bomb, biomathematics, vv. Học trò của Borsuk như Sieklucki, Toruńczyk tôi có biết. Banach thì chết trẻ (ung thư), sống giữa 2 đại chiến thế giới chỉ có 2 học trò là Ulam và Mazur. Học trò của Mazur tôi đã từng học trực tuyến hoặc nghiền monographs thời SV ít nhất là 9 người (Rolewicz, Pełczyński, Kwapień, Macinkowska, Birkholc, Bojdecki, Bessaga, Kołodziej, Mauren). Borsuk chết 1982 để lại nhiều huyền thoại về tài năng đặc biệt trong cắt ghép topo (chirurgical operations) các vật thể phức tạp trong không gian nhiều chiều. Tuy nhiên, sinh viên thường thì không thích ổng, vì học ổng khó quá =; Cho dù tôi học nhiều ng là F-2 của Banach, tôi là thế hệ sinh viên F-4 của Banach, Ulam là F-1, tức là tôi gọi ông B là "kỵ" theo quan điểm phương đông, "thày" như "cha"
=;
Chỉnh sửa lần cuối:
Nguyễn Hoàng Dũng
(ThomasTran)
New Member
Anh Hưng giỏi quá, chứng minh khó vậy mà cứ bảo dễ...
Nguyễn Quang Hưng
(sonnet)
New Member
Đoạn trên tôi đã giới thiệu cho các bạn từ đâu 2 ông to đầu là Borsuk và ông Ulam chui ra. Nay nói tiếp đến vài chi tiết khác
Ulam làm PhD xong năm 1933 khi đó ông ta 24yo, ông này ngoại lệ, quái lắm, chẳng đến trường đi học ĐH, thời SV ông ta đã đăng một số kết quả rồi, nên được đại học ưu ái lắm, đến khi tốt nghiệp ông ta xin trả những môn cần phải thi, ông ta thi ào mười mấy môn còn nợ từ những năm trước, xong. Làm PhD cũng thế, chẳng đến trường phí thời gian, Banach giao cho mấy vấn đề trong đó có 1 vấn đề từ thời Lebesgue - ông ta giải quyết xong đăng kết quả, thế là xong. Các bạn giỏi toán của VN nên chọn con đường này
Ulam về già, ông ta chuyển về Colorado Univ., sau khi làm việc ở Los Alamos nhiều năm, qua đời 1984. Ông này có 1 nhược điểm, có ít học trò, tổng cộng cho ra lò 3 PhD trong suốt cuộc đời, và không ai trong số đó nổi tiếng như Ulam.Borsuk làm PhD xong năm 1931 khi đó ông ta 26yo. Ông này cả đời đào tạo được 15 tiến sĩ, nổi nhất trong đám đó là Eilenberg đã nói lần trước. Eilenberg thì nổi danh như Borsuk hay thậm trí còn hơn cả thày, ông ta cho ra lò 17 tiến sĩ chủ yếu ở Columbia Univ., số học trò này và học trò của số này (tức là F-2 và F-3 của Eilenberg) đã cho ra lò (tính ở thời điểm hiện nay) ... hơn 200 tiến sĩ.
Học trò của Sierpiński, nói ở trên, thành đạt nhất là Zygmund, ông này trốn WW2 chạy sang USA và sau đóng đô ở Chicago. Zygmund dựng lên trung tâm giải tích cực mạnh ở Chicago, cho ra lò tổng cộng 39 tiến sĩ. Học trò giỏi nhất của Zygmund là Paul Cohen, medal Fields (1966) vì lão này giải được ngay vấn đề số 1 của Hilbert !! Ngoài ra, Zygmund còn có 1 học trò cự phách nữa là Elias Stein, đại cổ thụ ở Princeton, đã cho ra lò hơn 40 PhD, trong đó có (Mỹ gốc Việt) Dương Hồng Phong và ngôi sao trẻ tuối (30yo) số một về giải tích hiện nay (Mỹ gốc Tàu) là Terence Tao, hắn 21 tuổi đã xong PhD, 25yo lên prof., 29yo đã hướng dẫn học trò hắn xong PhD, đang ở UC LA, hắn có viết papers với bác Vũ H Văn (Ams khóa 86). Học trò F-1, F-2 của Stein hiện nay chắc lên tới cỡ .... 700 tiến sĩ ! Đông đảo như thế nên ông này có ảnh hưởng rất mạnh =D>
Tóm lại, các bạn giỏi toán ở VN nên chọn đường tắt, cứ tấn công vào 1 vấn đề chưa có lời giải, rồi công bố kết quả. Đi học ĐH rồi đi làm PhD kiểu course phí thời gian, phí tiền của và thui chột tài năng của các bạn. Theo tôi, không nên đi vào lối mòn kiểu đó, lãng phí tuổi thanh xuân!
Chỉnh sửa lần cuối:
Phan Huy Đức
(Phan Huy Đức)
New Member
không biết được tấn công vào 1 vấn đề chưa có lời giải hay là học PhD cái nào lãng phí tuổi thanh xuân hơn đâu
Nguyễn Quang Hưng
(sonnet)
New Member
Phan Huy Đức đã viết:không biết được tấn công vào 1 vấn đề chưa có lời giải hay là học PhD cái nào lãng phí tuổi thanh xuân hơn đâu
Well, chú Đức, lời khuyên trên là dành cho những bạn có năng khiếu thực sự. Khả năng giải được vấn đề chưa giải được rất cao. Cũng cần biết rằng có cực nhiều vấn đề chưa chứng minh được nho nhỏ xuất hiện, rồi sẽ được chứng minh trong thời gian cỡ chục năm. Không nhất thiết phải tấn công những vấn đề quá nổi tiếng, cả trăm năm không ai giải quyết được, nếu bạn không có ý tưởng gì mới. Tấn công những vấn đề nổi tiếng cả trăm năm, thì đúng là chiến lược mạo hiểm "được ăn cả, ngã về không", chỉ những cá nhân đặc biệt mới nên áp dụng.
Muốn đến được những vấn đề nho nhỏ sớm, phải tự học sớm kiến thức 2-3 năm đầu của ĐH từ thời học sinh, đến độ tuổi 19-20 (năm 2 ở ĐH) là đã có thể rảnh tay tấn công những vấn đề mình ưa thích.
Nguyễn Quang Hưng
(sonnet)
New Member
Nguyễn Huyền Anh đã viết:Cái này muốn học chắc phải tự đọc sách thêm chứ chắc cũng không nơi nào dạy thêm cả
Lấy ví dụ trường hợp của Banach. Ông này thời học sinh trung học, học toán cực kỳ suất sắc, nhưng tốt nghiệp không đạt loại suất sắc, vì học lệch giỏi mỗi Toán thôi. Banach chọn vào học ĐH Bách khoa, vì ông ta nghĩ là Toán chẳng có gì để mà làm nữa! Chẳng có ai quân sư cho ông ta cả, không phải như các bạn trẻ bây giờ có cả tỉ phương tiện để được quân sư. Banach đi học ĐH chẳng có financial support của ai hết, tự túc hoàn toàn, thời đó là thời trước WW1, kiếm tiền bằng nghề gia sư và một số công việc khác. Sau khi học xong BK ông ta đã 22 tuổi, bùng nổ WW1, ông ta làm giáo viên và đi xây đường phục vụ chiến tranh. Trong thời gian đó ông ta đến khoa Toán của ĐH TH Jagiellonian nghe giảng. Tuy nhiên tài năng của ông ta chẳng được ai phát hiện ra cả, và có thể sẽ như thế, nếu như không có 1 sự tình cờ sảy ra.
Một lần 1 nhà toán học tài ba là Steinhaus, ông này là học trò của chính David Hilbert (!), đi dạo trong công viên và nghe thấy 2 thanh niên trẻ tuổi tranh luận hăng say về độ đo Lebesgue, ông ta liền đến làm quen. 1 trong hai người là ... Banach, còn người kia là .... Nikodym, học trò của Sierpiński, sau đó cũng trở thành một nhà toán học cự phách, vd. với định lý nổi tiếng Radon-Nikodym trong lý thuyết độ đo. Và từ đó họ gặp nhau hàng tuần, làm seminar và tổ chức ra hội toán học của Cracow sau đó toàn quốc.
Kết quả đầu tiên của Banach làm cùng với Steinhaus được công bố khi ông ta 25 tuổi, và từ đó ông ta sản xuất những kết quả cực quan trọng với một tốc độ nhanh chóng mặt! Kiểu làm Toán của Banach cũng cực dị biệt, ông ta ra quán uống bia, nghe nhạc tranh luận ồn ào với bạn bè và ... làm Toán. Ông ta không cần yên tĩnh, và thường xuyên dùng bia để khởi động bộ óc của mình :-$
Khó có thể đoán được nếu Banach không gặp được Steinhaus sẽ ra sao. Còn Steinhaus sau này đã già rồi, ông này đã công bố hơn 170 kết quả (!) và viết khá nhiều sách, khi được ng ta hỏi kết quả lớn nhất trong đời của ông là gì, ông ta không ngần ngại trả lời luôn : "phát minh lớn nhất của tôi là .... Stefan Banach" ! Sách của Steinhaus chắc đã được dịch qua tiếng Việt, 1 cuốn nổi tiếng của ông ta là 100 vấn đề (One hundred problems) ai đọc cũng được. Nếu chưa được dịch thì tôi phải dịch nó vậy
Tự học và cơ hội gặp được những người tài ba đi trước, đó là câu trả lời cho câu hỏi của Huyền Anh. Hiện nay có khá nhiều ng giỏi đi trước, nên cơ hội lớn hơn thời ông Banach rất nhiều.
>-
Nguyễn Thành Trung
(nt2)
New Member
Ngắt lời bác Hưng 1 chút. Đây là trang down sách miễn phí của Hội Toán học Mỹ (tạm dịch là thế ). Các bạn ai yêu thích Toán thì nên vào đây xem và down sách về nghiên cứu.
http://www.ams.org/online_bks/online_subject.html
). Các bạn ai yêu thích Toán thì nên vào đây xem và down sách về nghiên cứu.http://www.ams.org/online_bks/online_subject.html
Nguyễn Lê Đăng Thi
(Black-Metaler)
New Member
Ồ vào đây thấy có cả em học sinh đã biết Algebraic Topology rồi là khá đấy. Cm mấy cái cổ điển này đều tìm thấy trong mọi cuốn, có thể tìm đọc Hatcher, mặc dù cuốn này nhạt nhẽo vô vị, nhưng khá trực quan, nhiều bài tập. Sách của Hatcher download miễn phí tại Cornell ý. Cuốn viết khá hơn 1 tẹo là K-Theory and Vector bundle.
Functional analysis và lý thuyết độ đo đã là 1 lãnh vực chết rồi , không biết tương lai có ai mở rộng hay khám phá được điều gì hay ho không. Nhưng kết quả của định lý Radon-Nikodym thì lớn không kể xiết nhất là trong lãnh vực C*-Algebra.
Trước đây tôi đã từng làm về topological K-Homology và generalized Bordism trên các Spin[SUP]c[/SUP] Manifolds phải sử dụng nhiều kết quả bên analytic K-homology nên cũng hơi biết sơ qua cái định lý này.
Theo tôi nghĩ là cả 2, vừa phải tấn công bài toán chưa có lời giải, vừa phải song song làm hết PhD. Không nên xem nhẹ cái nào hết. Vì nói chung 1 mình mày mò ( trừ đại thiên tài ) không thể bằng được giáo sư hướng dẫn ( tất nhiên là tùy thầy ).
Grothendieck là ông tổ của Algebraic Geometry rồi, khỏi nói, số người ở VN đã từng được nói chuyện với ông ta thời chiến tranh và hiểu được lời ông ta nói chắc chỉ đếm được trên đầu ngón tay. Không có Grothendieck thì Atiyah cũng khó mà sáng tạo ra topological K-Theory hay Index theory nhỉ. Sở dĩ khó là do Sheaf theory không những đòi hỏi khả năng đại số cao, mà phải hiểu bản chất geometry của nó. Tôi tuy đã từng học qua Hình học đại số, nhưng chưa bao giờ tôi hiểu 1 cách bản chất hình học của nó cả. Nói chung làm formal bao giờ cũng dễ hơn, nhưng hiểu không cặn kẽ thôi.
Functional analysis và lý thuyết độ đo đã là 1 lãnh vực chết rồi
, không biết tương lai có ai mở rộng hay khám phá được điều gì hay ho không. Nhưng kết quả của định lý Radon-Nikodym thì lớn không kể xiết nhất là trong lãnh vực C*-Algebra.Trước đây tôi đã từng làm về topological K-Homology và generalized Bordism trên các Spin[SUP]c[/SUP] Manifolds phải sử dụng nhiều kết quả bên analytic K-homology nên cũng hơi biết sơ qua cái định lý này.
Theo tôi nghĩ là cả 2, vừa phải tấn công bài toán chưa có lời giải, vừa phải song song làm hết PhD. Không nên xem nhẹ cái nào hết. Vì nói chung 1 mình mày mò ( trừ đại thiên tài ) không thể bằng được giáo sư hướng dẫn ( tất nhiên là tùy thầy ).
Grothendieck là ông tổ của Algebraic Geometry rồi, khỏi nói, số người ở VN đã từng được nói chuyện với ông ta thời chiến tranh và hiểu được lời ông ta nói chắc chỉ đếm được trên đầu ngón tay. Không có Grothendieck thì Atiyah cũng khó mà sáng tạo ra topological K-Theory hay Index theory nhỉ. Sở dĩ khó là do Sheaf theory không những đòi hỏi khả năng đại số cao, mà phải hiểu bản chất geometry của nó. Tôi tuy đã từng học qua Hình học đại số, nhưng chưa bao giờ tôi hiểu 1 cách bản chất hình học của nó cả. Nói chung làm formal bao giờ cũng dễ hơn, nhưng hiểu không cặn kẽ thôi.