Vô hạn và hữu hạn

[Nguyễn Thu Trang (kitten0303)]

Bài viết bên topic Học tập của Hoàng Tuấn Nghĩa, xin phép chuyển topic sang bên Khoa học Kĩ thuật. Mong các bậc tiền bối giúp đỡ

Có thể nói,trong toán học, vô hạn và hữu hạn là hai khái niệm rất bí ẩn(đối với tớ( ) nếu chúng được đem ra đối chiếu với nhau.Từ khi bắt đầu quan tâm về vấn đề này, tớ luôn canh cánh rất nhiều câu hỏi chưa có lời giải đáp. Nói ra thì chẳng biết bắt đầu từ đâu mà tự tìm hiểu thì không đủ trình độ. Vậy xin nhờ tiền bối nào đó nghiên cứu hoặc hiểu biết về vấn đề này trả lời giúp một số thắc mắc:
1/Như ta đã biết, phép giao hoán và kết hợp không còn đúng trong 1 tổng gồm vô hạn số hạng. Vậy thì phép nhân một số vô hạn với một số hữu hạn liệu có đúng nữa không. VD:A=0.9999...9(vô hạn số 9) theo lí thuyết là không bằng 1. Thế nhưng 10*A=9.999..99=>10*A-9=0.9999...9=A=>A=1. Một ví dụ nhiều người hay nói nhưng chưa ai chịu giải thích cho tớ cả.
2/Vậy tổng, tích của hai số vô hạn liệu có thể tính theo qui tắc dành cho các số hữu hạn được không?Nếu không ta tính bằng cách nào?
3/Những tính chất cơ bản như vậy của hữu hạn ko đúng khi xét với vô hạn. Thế nhưng lại có một số tính chất của HH khi áp dụng cho vô hạn lại cho ta kết quả đúng :-/ Ví dụ như Ơle đã dựa vào 1 tính chất cơ bản của đa thức bậc hữu hạn, làm tương tự với đa thức bậc vô hạn và tìm ra tổng của chuỗi nghịch đảo các bình phương là pi^2/6, một điều sau này được khẳng định bằng chứng minh chặt chẽ. Vậy liệu tính chất ấy có đúng với VH hay ko và liệu còn những t/c nào như thế nữa???
4/Vậy thì từ vô hạn liệu có thể rút về hữu hạn được ko? Một người thầy của tớ đã giải phương trình siêu việt theo hướng trên nhưng tớ thấy không được thuyết phục cho lắm. Từ đa thức có VH căn, rút về chỉ còn 1 căn và biện luận:-/

Cám ơn mọi người trước

 

[Trần Đức Anh (huvm)]

Anh thấy thắc mắc của bạn Nghĩa là nghiêm túc, nhưng có vẻ bạn Trang lại thích thảo luận đùa thì phải .

 

[Nguyễn Nhật Cương (NNC)]

Anh cũng học ít hiểu kém. Nhưng có thể giải thích cho em được cái vụ 0.9999...=1.
Hoàn toàn đúng em ạ. Các phép tính em làm suy ra A=1 không có gì sai cả. Không thể phủ nhận sự tồn tại của các số thập phân vô hạn tuận hoàn cũng như khả năng tính toán trên chúng. Ngoải ra để chứng minh 0.9999...=1 thuyết phục hơn, em có thể làm thế này.
Vì R đan trong R nên giữa 2 số thuộc R luôn tồn tại một số khác thuộc R. (anh cũng không biết anh dịch thế có đúng không nữa, tiếng Pháp gọi là R dense dans R). Nếu 0.9999... và 1 là 2 số phân biệt thì nhất định có một số X lớn hơn 0.999... và nhỏ hơn 1. => tồn tại €>0 sao cho 0.9999...+€<1. 10^(-n) với n là số nguyên dương tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng, nói cách khác nghĩa là nhỏ tùy ý, nên tồn tại n sao cho 10^(-n) <€
Tuy nhiên, dễ dàng chứng minh với mọi n nguyên dương thì 10^(-n)+0.9999...>1, nên không tồn tại €, nên 0.999...=1.
Để em yên tâm, còn có một vài thông tin nữa. Mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều có dạng biểu diễn phân số tối giản. Của 0.999... nhất định là 1.
Đây là một ví dụ tiêu biểu cho việc mỗi số thuộc R có vô số cách biểu diễn thập phân khác nhau (cũng là một tính chất rất quan trọng cho Đại số cao cấp)
2 câu kia để anh thử nghĩ thêm nhé.

 

[Hoàng Tuấn Nghĩa (me vs myself)]

Anh cũng học ít hiểu kém. Nhưng có thể giải thích cho em được cái vụ 0.9999...=1.
Hoàn toàn đúng em ạ. Các phép tính em làm suy ra A=1 không có gì sai cả. Không thể phủ nhận sự tồn tại của các số thập phân vô hạn tuận hoàn cũng như khả năng tính toán trên chúng. Ngoải ra để chứng minh 0.9999...=1 thuyết phục hơn, em có thể làm thế này.
Vì R đan trong R nên giữa 2 số thuộc R luôn tồn tại một số khác thuộc R. (anh cũng không biết anh dịch thế có đúng không nữa, tiếng Pháp gọi là R dense dans R). Nếu 0.9999... và 1 là 2 số phân biệt thì nhất định có một số X lớn hơn 0.999... và nhỏ hơn 1. => tồn tại €>0 sao cho 0.9999...+€<1. 10^(-n) với n là số nguyên dương tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng, nói cách khác nghĩa là nhỏ tùy ý, nên tồn tại n sao cho 10^(-n) <€
Tuy nhiên, dễ dàng chứng minh với mọi n nguyên dương thì 10^(-n)+0.9999...>1, nên không tồn tại €, nên 0.999...=1.
Để em yên tâm, còn có một vài thông tin nữa. Mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều có dạng biểu diễn phân số tối giản. Của 0.999... nhất định là 1.
Đây là một ví dụ tiêu biểu cho việc mỗi số thuộc R có vô số cách biểu diễn thập phân khác nhau (cũng là một tính chất rất quan trọng cho Đại số cao cấp)
2 câu kia để anh thử nghĩ thêm nhé.

Đây là cách giải thích em cảm thấy thuyết phục nhất. Trước đây cũng có người gt với em một kiểu tương tự nhưng đấy là lúc còn non nớt nên chưa hiểu kĩ lắm, nhưng với một số kiến thức mới về tập hợp và giới hạn thì bây giờ tư tưởng đã thông rồi. Cảm ơn anh nhiều. Mong anh tiếp tục giải đáp hộ 2 câu hỏi còn lại.

 

[Phạm Vũ Lộc (pvloc90)]

Vì R đan trong R nên giữa 2 số thuộc R luôn tồn tại một số khác thuộc R. (anh cũng không biết anh dịch thế có đúng không nữa, tiếng Pháp gọi là R dense dans R). Nếu 0.9999... và 1 là 2 số phân biệt thì nhất định có một số X lớn hơn 0.999... và nhỏ hơn 1. => tồn tại €>0 sao cho 0.9999...+€<1. 10^(-n) với n là số nguyên dương tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng, nói cách khác nghĩa là nhỏ tùy ý, nên tồn tại n sao cho 10^(-n) <€
Tuy nhiên, dễ dàng chứng minh với mọi n nguyên dương thì 10^(-n)+0.9999...>1, nên không tồn tại €, nên 0.999...=1.

Em hiểu nông thế này:A=0,999... ko bằng đc 1 nhưng ko tồn tại 1 số nào giữa nó với 1.
Nếu có 1 số như thế thì ta cho dài ra thêm vài số 9 ở sau A nữa, A luôn vượt qua số đó vì A lớn tuỳ ý miễn sao vẫn nhỏ hơn 1.
Đây là 1 nghịch lý của vô hạn và hữu hạn. 2 số ko có gì ở giữa, cũng ko có khoảng cách mà chúng ko bằng đc nhau.
Cái vô hạn ko phải là cái lớn lao mà nó còn ẩn trong những cái vô cùng nhỏ bé. Lớn vô cùng hay bé vô cùng đều là vô hạn. Và con người chỉ nhận biết đc cái vô hạn dựa vào cái hữu hạn mà thôi.:-?

 

[Nguyễn Nhật Cương (NNC)]

Em Lộc thân mến, anh giải thích thế để nói rằng 0.(9)=1.
Đây không có gì là nghịch lý cả. Con người thì anh không dám nói, chứ cách nhìn nhận vô hạn của Toán học rất triệt để và chặt chẽ (ít ra là trong những cái anh đã học ).

Lâu lâu không trả lời em Nghĩa, thực ra vì câu hỏi của em khó và hơi chung chung. Tiếp cận một chân lý cuối cùng về vô hạn và hữu hạn thì anh không đủ trình. Nhưng em sẽ sớm gặp một vài khái niệm cơ bản trong toán cao cấp có liên quan trong chương trình ĐH.
bb.

 

[Phạm Vũ Lộc (pvloc90)]

Đúng là mấy câu dưới của anh Nghĩa hơi chung chung, khó hiểu.@-)
Mà em vẫn chưa rõ. 0,(9) và 1 là 1 số hay 2 sô cùng giá trị?
Theo em thì chỉ nên hiểu là:
0,(9)<1 và không tồn tại x sao cho 0,(9)<x<1.:-?

 

[Nguyễn Nhật Cương (NNC)]

Đúng là mấy câu dưới của anh Nghĩa hơi chung chung, khó hiểu.@-)
Mà em vẫn chưa rõ. 0,(9) và 1 là 1 số hay 2 sô cùng giá trị?
Theo em thì chỉ nên hiểu là:
0,(9)<1 và không tồn tại x sao cho 0,(9)<x<1.:-?

Uh thì, ý anh muốn nói là 0.(9) và 1 thực ra là 2 cách viết khác nhau của cùng một số (thế em gọi thế nào là 2 số có cùng giá trị?). Nếu em vẫn nghĩ là 0.(9) nhỏ hơn 1 VÀ KHÔNG CÓ SỐ NÀO Ở GIỮA thì theo em số 0.(9)+(1-0.(9))/2 nó nằm ở đâu?

 

[Phạm Vũ Lộc (pvloc90)]

Hic! Thế thì có lẽ cái số ở giữa ấy nó lại là 1 số vô hạn chạy giữa 2 số kia.
Nếu cứ lây 1 lượng hữu hạn các số sau dấu phẩy thì chắc đế Tết mới kết luận đc 0,(9)+(1-0,(9))/2 có lớn hơn 0,(9) hay ko.
Thôi thì hiểu là 2 số đó sẽ bằng 1 ở...vô cực./

 

[Trần Đức Anh (huvm)]

Lộc học giới hạn đi là hiểu ngay thôi .

Đầu tiên : 0.(9) là gì ? Nếu không hiểu cái này thì chịu rồi , cũng giống như muốn chứng minh một mệnh đề thì ít ra cũng phải có cái gì để dựa vào chứ, ít nhất là phải thừa nhận vài cái tiên đề

 

[Phạm Vũ Lộc (pvloc90)]

Vâng! Đúng là em chưa học chưa biết thật.
Nhưng nói chuyện với các anh thấy cũng vỡ ra nhiều.

 

[Ngô Văn Sáng (Ngo_Van_Sang)]

Đây là một ví dụ tiêu biểu cho việc mỗi số thuộc R có vô số cách biểu diễn thập phân khác nhau (cũng là một tính chất rất quan trọng cho Đại số cao cấp)

Thật hả em? 8-|

 

[Phạm Vũ Lộc (pvloc90)]

Ah uh nhỉ? Lấy đâu mà đc vô số chứ.:-/