Sự liên tục & hàm khả vi

NCT

Nguyễn Chí Thanh
(NCT)

Điều hành viên
Vào đây hỏi các cao thủ phát :
Liệu có tồn tại một hàm liên tục trên một khoảng [a,b] nhưng lại không khả vi tại bất kì điểm nào không?
Nếu có thì cho ví dụ.
Nếu không thì chứng minh.
Cám ơn trước!
 
Chú Thanh vào đây mà đọc. Trong đó chỉ có ý tưởng, không có c/m, nhưng hướng dẫn khá cụ thể.
 
oulà, merci anh Sa'ng. Em chưa đọc kĩ vì phải đi ngay, nhưng mà mới nhìn qua cái hình, thấy hay lắm :D. Tối về đọc lại
 
Đọc rồi, bài hay thật. Nhưng cái thằng viết bài này có chỗ không hay lắm. Chỉ đưa ý tưởng cho người ta, mà cứ kêu rất khó để chứng minh :D. Thế nên em cũng mới chỉ hiểu ý tưởng chứ chưa dám làm thật.
 
Mấy hình fractal đơn giản nếu coi là đồ thị một hàm số nào đó thì nó là hàm số liên tục và không có đạo hàm tại bất cứ điểm nào.
 
Mấy cái Fractal nổi tiếng đều không phải là đồ thị hàm số :x
Trong giải tích người ta dùng rất nhiều fractal để làm ví dụ nhưng chúng đều không nổi tiếng lắm b-)
 
Tạ Tuấn Thành đã viết:
Tao bảo là fractal đơn giản chứ không phải là nổi tiếng :p
Nhấn để mở rộng...
Đa phần những cái đơn giản là nổi tiếng và nổi tiếng thì đơn giản (in most case thôi nhé).
 
Chú nào thử kiếm một ví dụ một hình fractal nổi tiếng, đơn giản, đồng thời là đồ thị một hàm số liên tục và không khả vi đi, thấy mấy chú nói chuyện chắc có cả đống ví dụ. Anh là anh cũng khoái mấy cái hình fractal phết, tô thêm tẹo màu nữa rồi đem tặng mấy em bé lớp 10 - 11 chắc các em ấy thích phải biết :)), có khi các em ấy ép plastic rồi dán lên trước bàn học cũng nên :D
Đêm qua ngồi chat chit với thằng cu bạn "cá mập", tự nhiên nhớ ra một câu hỏi mà anh thắc mắc từ hồi năm nhất, post lên chú nào biết thì trả lời hộ anh. Các chú đều biết một hàm số liên tục tại một điểm nếu nó liên tục trái và liên tục phải tại điểm đó và hai giới hạn bằng nhau. Câu hỏi của anh là có tồn tại hay không một hàm (cho là từ R vào R đi cho đơn giản) mà liên tục trái tại mọi điểm, nhưng không liên tục phải tại điểm nào cả :D? Anh thì có cảm giác là có, nhưng không chứng minh được, mấy cao thủ giết hộ anh mới ;)
 
Bài toán của anh Sáng có câu trả lời phủ định. Với một hàm liên tục trái thì rất nhiều điểm của nó cũng bị "ép" để trở thành liên tục phải :D

À, thử post mấy cái fractal cái nhỉ

Snowflake​


snowflakeb.jpg


When conditions are just right, fractal snowflakes can form - and some have only 5 sides!​

Đây là một fractal đơn giản và nổi tiếng ( Koch snowflake?? ) :D
 
Nguyễn Hoàng Dũng đã viết:
Bài toán của anh Sáng có câu trả lời phủ định. Với một hàm liên tục trái thì rất nhiều điểm của nó cũng bị "ép" để trở thành liên tục phải :D

À, thử post mấy cái fractal cái nhỉ

Snowflake​


snowflakeb.jpg


When conditions are just right, fractal snowflakes can form - and some have only 5 sides!​

Đây là một fractal đơn giản và nổi tiếng ( Koch snowflake?? ) :D
Nhấn để mở rộng...
Cho tao hàm số cái fractal này đi cu. Tao đang phải làm mấy cái fractal nộp giáo viên :D. Ngồi vẽ mãi mới được cái lá cây, không phê lắm.
 
Cái HAO này không cho mình gửi ảnh lên nhỉ, ghét thật.
Cái fractal như sau sé là đồ thị hàm liên tục không khả vi:
tam giác vuông cân ABC vuông ở B, AC nằm trên Ox
biến tam giác này thành 2 tam giác vuông cân AB[SUb]1[/sub]C[sub]1[/sup] ,C[sub]1[/sup]B[sub]2[/sup]C với C[sub]1[/sup] là trung điểm AC.
Sau đấy biến 2 tam giác vừa rồi thành 4 tam giác....làm tới vô cực sẽ có hàm số mà nếu vẽ ra thì chỉ có thể vẽ một đường thẳng :D
Nói cách khác:
f[sub]n[/sup](x)=x+k/n (khi x thuộc [k/n,(k+1)/n]) và bằng -x+k/n (khi x thuộc [(k-1)/n,k/n]
f=lim khi n->vô cực của f[sub]n[/sub]
c/m
các điểm k/2[sup]n[/sup] chắc chắn không có đạo hàm vì là điểm gãy khúc.
Các điểm còn lại luôn nằm trên một cạnh tam giác vuông nào đó.
Ứng với một giá trị n nhất định, f[sub]n[/sub][sup]'[/sup](x[sub]o[/sub])=1 hoặc -1, tùy theo giá trị của n và không tồn tại giới hạn của f[sub]n[/sub][sup]'[/sup](x[sub]o[/sub]) khi n tiến đến vô cực tức f[sup]'[/sup](x[sub]o[/sub]) không tồn tại
 
Nguyễn Hoàng Dũng đã viết:
Bài toán của anh Sáng có câu trả lời phủ định. Với một hàm liên tục trái thì rất nhiều điểm của nó cũng bị "ép" để trở thành liên tục phải :D
Nhấn để mở rộng...
Ế, hay thế, thật à? :eek: Chú Dũng chứng minh hộ anh cái ;)
Tạ Tuấn Thành đã viết:
Cái HAO này không cho mình gửi ảnh lên nhỉ, ghét thật.
Cái fractal như sau sé là đồ thị hàm liên tục không khả vi:
tam giác vuông cân ABC vuông ở B, AC nằm trên Ox
biến tam giác này thành 2 tam giác vuông cân AB1C1[/sup] ,C[sub]1[/sup]B[sub]2[/sup]C với C[sub]1[/sup] là trung điểm AC.
Sau đấy biến 2 tam giác vừa rồi thành 4 tam giác....làm tới vô cực sẽ có hàm số mà nếu vẽ ra thì chỉ có thể vẽ một đường thẳng
Nói cách khác:
f[sub]n[/sup](x)=x+k/n (khi x thuộc [k/n,(k+1)/n]) và bằng -x+k/n (khi x thuộc [(k-1)/n,k/n]
f=lim khi n->vô cực của f[sub]n
c/m
các điểm k/2n chắc chắn không có đạo hàm vì là điểm gãy khúc.
Các điểm còn lại luôn nằm trên một cạnh tam giác vuông nào đó.
Ứng với một giá trị n nhất định, fn'(xo)=1 hoặc -1, tùy theo giá trị của n và không tồn tại giới hạn của fn'(xo) khi n tiến đến vô cực tức f'(xo) không tồn tại
Nhấn để mở rộng...

Nếu anh hiểu đúng là chú định làm gì thì tức là chú làm sai :D
Sai 1: công thức f_n của chú sai. f_n(1/2) lẽ ra = 0 (hê hê, chính là cái điểm C_1 của chú đấy :))) thì trên thực tế không phải.
Sai 2: giả sử sửa được sai 1, khi đó không tồn tại giới hạn của dãy đạo hàm của các f_n tại x_0 khi n -> \infty thì cũng chẳng có lý do gì để kết luận là không tồn tại đạo hàm của hàm giới hạn f tại x_0 (cái này là do ngộ nhận khái niệm ;))
Sai 3: giả sử bỏ qua cả sai 1 lẫn sai 2 thì dãy hàm của chú đơn giản là hội tụ đều đến hàm hằng y = 0 (bản thân chú cũng nhận ra là đồ thị là đoạn thẳng). Mà hàm hằng này nếu anh không nhầm :)p) thì nó khả vi vô cùng cơ ;)
Nói một tẹo vể fractal, nói chung đưa ra được một công thức tường minh cho một em fractal cũng giống như chú biết hết mọi thứ về một em bé gái rồi (cũng làm được, nhưng cần nhiều công sức hơn một tẹo :))). Thường người ta xây dựng fractal bằng truy hồi, rồi cho vào máy tính cho nó vẽ ra xem ra cái gì, giống như chú lặp đi lặp lại một động tác tặng hoa cho em ấy, và rồi chú kết luận là "một cách fractal" thì em ấy sẽ phải thích chú :D
 
Chỉnh sửa lần cuối:
cái sai thứ nhất có thể bỏ qua, lặt vặt.
cái sai thứ hai anh chỉ ra cách chứng minh tồn tại f'(x) thì em mới công nhận là f(x) khả vi tại một điểm nào đó
cái sai thứ ba thì anh sai: tuy f[sub]n[/sub] tientoi doan thang AC nhung do dai cua duong gap khuc tao boi f[sub]n[/sub] luon la AC căn 2, khác AC, đâu thể coi là hàm y=0 được. Hơn nữa các điểm x=k/2[sup]m[/sup] (coi A là 0,0, C là 0,1) với k và m tự nhiên thì f'(x) không tồn tại.
 
:D nói nhẹ nhàng thế mà chú còn cãi thì anh cũng chịu :)) Chẳng lẽ bảo chú học lại khái niệm hội tụ của dãy hàm???!!! Cái hàm mà chú làm việc thực sự không phải là f_n mà là hàm giới hạn f, mà hàm giới hạn f của chú ở đây đồng nhất 0. Độ dài đường gấp khúc của chú chẳng có ý nghĩa gì ở đây cả. Đúng là với mọi n hàm f_n của chú có thể trông rất lồi lõm, nhất là khi n lớn, nhưng khi chú đã lấy giới hạn thì là chuyện khác hoàn toàn.
Anh chỉ ra mấy cái sai là định lấp liếm hộ chú cái sai cơ bản thì chú lại cứ tự lôi ra, chịu chú thật.
 
Thành :Mày lần theo cái địa chỉ của ảnh tao gửi ý, trong đấy có ghi hàm số thì phải!!
 
Chỉnh sửa lần cuối:
Ngô Văn Sáng đã viết:
:D nói nhẹ nhàng thế mà chú còn cãi thì anh cũng chịu :)) Chẳng lẽ bảo chú học lại khái niệm hội tụ của dãy hàm???!!! Cái hàm mà chú làm việc thực sự không phải là f_n mà là hàm giới hạn f, mà hàm giới hạn f của chú ở đây đồng nhất 0. Độ dài đường gấp khúc của chú chẳng có ý nghĩa gì ở đây cả. Đúng là với mọi n hàm f_n của chú có thể trông rất lồi lõm, nhất là khi n lớn, nhưng khi chú đã lấy giới hạn thì là chuyện khác hoàn toàn.
Anh chỉ ra mấy cái sai là định lấp liếm hộ chú cái sai cơ bản thì chú lại cứ tự lôi ra, chịu chú thật.
Nhấn để mở rộng...
f'(0)=1 còn hàm y=0 thì đạo hàm bằng 0. Anh nói sao về điều này?
 
Tạ Tuấn Thành đã viết:
Nguyễn Hoàng Dũng đã viết:
Bài toán của anh Sáng có câu trả lời phủ định. Với một hàm liên tục trái thì rất nhiều điểm của nó cũng bị "ép" để trở thành liên tục phải :D

À, thử post mấy cái fractal cái nhỉ

Snowflake​


snowflakeb.jpg


When conditions are just right, fractal snowflakes can form - and some have only 5 sides!​

Đây là một fractal đơn giản và nổi tiếng ( Koch snowflake?? ) :D
Nhấn để mở rộng...
Cho tao hàm số cái fractal này đi cu. Tao đang phải làm mấy cái fractal nộp giáo viên :D. Ngồi vẽ mãi mới được cái lá cây, không phê lắm.
Nhấn để mở rộng...

Hy vọng trang này sẽ giúp được mày, trong việc tạo một fractal như ý
http://www.idsia.ch/~jan/fractalapplet.html
 
Hàm của mày tiến đến 0 thật đấy Thành ạ!! Mày cứ tính giới hạn chính xác ra mà xem. Mày lấy đạo hàm trước rồi mới lấy giới hạn là không chính xác rồi . Không có gì đảm bảo đạo hàm của hàm giới hạn bằng giới hạn của đạo hàm. OK??? ;)

To anh Sáng : thằng Thành nó không ngốc đâu! Nhưng mà bất cứ ai không học ngành Toán dù thông minh đến mấy cũng có thể phạm những sai lầm như thế!! Giảng giải cho những người ta anh nên nhẹ nhàng một chút!
 
Chỉnh sửa lần cuối:
Bạn phải đăng nhập hoặc đăng ký để phản hồi tại đây.
Back
Bên trên