Nguyễn Quang Hưng
(sonnet)
New Member
Xin chào các bạn giỏi Toán 
Ma trận NxN vuông A=( a_{i j} ) được gọi là ma trận phản đối xứng (skew-symmetric or antisymmetric) nếu: Trans(A) = - A, hay a_{i j} = - a_{j i} với mọi 1<=i,j<=N.
Các bạn thử sức với bài toán nhỏ sau đây của tôi.
Câu 1: (dễ)
Chứng minh rằng mọi ma trận phản đối xứng bậc lẻ (i.e. N lẻ) đều không có ma trận nghịch đảo, đơn giản là Det(A)=0 với N lẻ.
Câu 2: (trung bình)
Chứng minh rằng định thức của ma trận phản đối xứng với hệ số thực bậc chẵn (N chẵn) luôn không âm, đơn giản là Det(A) >=0 với N chẵn.
Mạnh hơn nữa: định thức của ma trận phản đối xứng bậc chẵn 2m là bình phương của đa thức bậc m tạo thành từ các hệ số của nó, đơn giản là Det(A) = ( Sum sgn a_{i j} ..... a_{k l} )^2 trong đó sgn = +1 or -1.
Ví dụ với ma trận phản đối xứng 4x4 chúng ta có:
Det(A) = ( a_{1 4} a_{2 3} - a_{2 4} a_{1 3} + a_{1 2} a_{3 4} )^2
Câu 3: (khó)
A là ma trận NxN phản đối xứng bậc chẵn với N >= 4.
B là ma trận (N-1)x(N-1) được tạo ra từ A bằng cách bỏ đi hàng sát cuối cùng, hàng thứ (N-1) và cột cuối cùng, cột thứ N.
C là ma trận (N-2)x(N-2) được tạo ra từ A bằng cách bỏ đi 2 hàng và 2 cột cuối cùng.
Chứng minh rằng: Det(A) * Det(C) = [ Det(B) ]^2 .
Bạn trẻ nào có lời giải hay/đẹp cho câu cuối cùng sẽ được tôi mời đi nhậu>-
Chúc các bạn vui vẻ !
Ma trận NxN vuông A=( a_{i j} ) được gọi là ma trận phản đối xứng (skew-symmetric or antisymmetric) nếu: Trans(A) = - A, hay a_{i j} = - a_{j i} với mọi 1<=i,j<=N.
Các bạn thử sức với bài toán nhỏ sau đây của tôi.
Câu 1: (dễ)
Chứng minh rằng mọi ma trận phản đối xứng bậc lẻ (i.e. N lẻ) đều không có ma trận nghịch đảo, đơn giản là Det(A)=0 với N lẻ.
Câu 2: (trung bình)
Chứng minh rằng định thức của ma trận phản đối xứng với hệ số thực bậc chẵn (N chẵn) luôn không âm, đơn giản là Det(A) >=0 với N chẵn.
Mạnh hơn nữa: định thức của ma trận phản đối xứng bậc chẵn 2m là bình phương của đa thức bậc m tạo thành từ các hệ số của nó, đơn giản là Det(A) = ( Sum sgn a_{i j} ..... a_{k l} )^2 trong đó sgn = +1 or -1.
Ví dụ với ma trận phản đối xứng 4x4 chúng ta có:
Det(A) = ( a_{1 4} a_{2 3} - a_{2 4} a_{1 3} + a_{1 2} a_{3 4} )^2
Câu 3: (khó)
A là ma trận NxN phản đối xứng bậc chẵn với N >= 4.
B là ma trận (N-1)x(N-1) được tạo ra từ A bằng cách bỏ đi hàng sát cuối cùng, hàng thứ (N-1) và cột cuối cùng, cột thứ N.
C là ma trận (N-2)x(N-2) được tạo ra từ A bằng cách bỏ đi 2 hàng và 2 cột cuối cùng.
Chứng minh rằng: Det(A) * Det(C) = [ Det(B) ]^2 .
Bạn trẻ nào có lời giải hay/đẹp cho câu cuối cùng sẽ được tôi mời đi nhậu
>- Chúc các bạn vui vẻ !
