Một bài toán kinh tế

[Nguyễn Minh Trung (Nguyen Minh Trung)]

Một bài toán kinh tế​

Nếu ai học business chắc đều biết về khái niệm present value và future value ( giá trị hiện thời và giá trị tương lai) . Có một bài toán đặt ra thế này, một company A cho company B vay một khoản vay - giả sử là 10 Mio- với interest rate là 4% per year, compound monthly . Thông thường các công ty sẽ thanh toán khoản debt này theo hình thức: Đối với principal (khoản vay cơ bản) sẽ cho depriciate trong một số năm nhất định còn đối với interest amount thì sẽ pay annually hoặc chi trả interest payment annually còn pricipal thì sẽ được trả toàn bộ về cuối. Hình thức thanh toán này có một nhược điểm là, các amount mà công ty vay phải trả trong các năm là không đều nhau, tuỳ thuộc vào principal còn lại nhiều hay ít.

Ví dụ trong trường hợp này khoản vay 10 Mio depreciate trong 10 năm, giả sử công ty này cơ cấu khoản nợ theo phương pháp straight line:

Năm đầu tiên công ty sẽ phải trả: 1 Mio + (1 + 4/12)^12*10 Mio
Đến năm thứ 2 : 1Mio + (1 +4/12)^12*9 Mio
Cứ như vậy, cho đến năm cuối là : 1 Mio + (1 + 4/12)^12*1 Mio

Nhìn vào sơ đồ này chúng ta có thể thấy sự khác biệt rất lớn giữa amount phải trả của năm thứ 1 và năm thứ 10.

Vậy bài toán đặt ra là: liệu có một phương pháp tính toán nào để công ty này có thể merge cả principal lẫn interest payment để chia đều các khoản payment trong các năm sao cho chúng luôn bằng nhau. Tức là trong trường hợp này thời hạn giải ngân khoản vay là không xác định, chỉ có một yếu tố ràng buộc duy nhất là các khoản payment luôn luôn phải bằng nhau, và không phụ thuộc vào lượng principal còn lại.

Tóm lại việc giả quyết bài toán này chúng ta sẽ tìm được 2 đại lượng là độ lớn của payment for each year và how long will it takes to pay off the debt.

Thay vì phải quyết định trước thời hạn của khoản vay cộng với các khoản payment giảm dần theo thời gian.

Ngoài ra việc giai quyết bài toán này còn mở ra một phương pháp mới trong việc analyze các khoản vay và cho vay trong việc so sánh giữa các khoản vay với các đại lượng interest rate khác nhau và thời hạn giải ngân khác nhau.

Ví dụ so sánh giữa vay 10 Mio với interest rate 4% trong 10 năm với 10 Mio với interest rate 0.5% trong 5 năm, which one is better ?


(Sử dụng phương pháp present value, future value sẽ không chính xác vì nó chỉ xác định được giá trị của toàn bộ khoản vay tại thời điểm mature date và không tính tới các khoản payment trong thời gian giữa).

Các bác có cao kiến gì không?



Phan Nhật Minh
Toán[SUB]2[/SUB] 97-00
18/03/2002
http://www.hn-ams.org/~old-forum/viewtopic.php?t=2167

THAM LUẬN

Cái bài toán này hay mà lạ quá. Có thể nhìn cái payment schedule của Minh như là một cái annuity. Tớ không hiểu lắm thế nào để tìm được future value hoặc payment và time to maturity. Nếu không biết trước một trong hai cái. Hơn thế nữa tớ cũng không hiểu cái mục đích của bài toán.

Nếu một công ty muốn biết periodic payment của khoản vay là bao nhiêu thì công ty đấy phải biết tenor của khoản vay. Cứ cho một cái tenor nhất định thì sẽ có một khoảng periodic payment tương ứng. Tóm lại là tớ không nghĩ cái bài toán này có một nghiệm. Hơn thế nữa, tớ không nghĩ là có thể so sánh khoản vay 4% cho 10 năm với 0.5% năm được, nó tùy thuộc vào current shape of the yield curve hay là forward rate agreement rates.

Nhưng mà tớ cũng không nghĩ FRA rate kéo dài ra đến như thế, giả sử công ty cần vay tiền 10 năm họ sẽ có 2 sự lựa chọn vay 10 năm @4% hoặc 5 năm @0.5%. Nếucông ty chọn cách thứ 2 vì lãi suất thấp hơn thì họ có rủi ro thì rollover khoản vay này. Thứ nhất là có thể họ không vay được tiền, thứ hai lãi suất 5 năm tại thời điểm 5 năm kể từ hôm nay nhảy vọt lên 20%, như vậy lãi suất vay của cách thứ hai trở nên cao hơn cách thứ nhất. Tớ không hiểu công ty so sánh một khoản vay 5 năm với một khoản vay 10 năm để làm gì, các bạn làm ơn giải thích cho tớ được không ?

Nguyen Hoai Anh
Anh[SUB]3[/SUB] 92-95

Hihihi,

Tự nhiên search ra được một bài toán tương tự như bài của chú Minh đây:

Loan Balance

Situation: A person initially borrows an amount A and in return agrees to make n repayments per year, each of an amount P. While the person is repaying the loan, interest is accumulating at an annual percentage rate of r, and this interest is compounded n times a year (along with each payment). Therefore, the person must continue paying these installments of amount P until the original amount and any accumulated interest is repayed. This equation gives the amount B that the person still needs to repay after t years.

(1 + r/n)^nt - 1
B = A (1 + r/n)^nt- P -----------------
(1 + r/n) - 1

where
B = balance after t years
A = amount borrowed
n = number of payments per year
P = amount paid per payment
r = annual percentage rate (APR)

hm: ^ la` To the power of ... la` mu~ ay a. Cai Superscript la`m sao ay no' khong close dduoc nen em dda`nh phai du`ng ky hieu

Source: http://math2.org/math/general/interest.htm

Như vậy có thể dựa theo bài toán này ta có thể có hướng giải cho bài của chú Minh được không nhỉ?. ihiihihi

Thay các dữ kiện vào thì n ở đây chính là 1 vì coi như mỗi năm trả một lần thôi. P là amount phải trả mỗi năm là constant không thay đổi.

Do mình cần tính đến khi trả hết nợ nên B = 0 thì có hai ẩn là t và P. Do đó vẫn phải xác định sau bao nhiêu năm sẽ trả hết. Hm như thế thì chưa đủ, phải tìm thêm 1 phương trình nữa để làm cái hệ phương trình 2 ẩn 2 phương trình thì mới ra được ..

hihih cái này cần Toán thôi ... bác nào giỏi Toán tính cho em cái ...

Bài toán của chú Minh đặt ra gay go ghê hihihih, cái gì cũng không cho biết thì ... bố ai mà .. plan được. Nói chung không thiết thực lắm thì phải. hi` theo anh là như vậy

Lý do, và cũng là câu trả lời cho bác Hoài Anh là tại sao phải so sánh khoảng 10 năm voi 5 năm, chính là ở chỗ đó: Business Planning. Theo như mục đích của Business Planning thì sẽ là không hiệu quả nếu năm nào cũng phải trả 1 khoản đồng đều vì công ty làm ăn có lên có xuống, làm nhiều thì tranh thủ trả hết sớm cho xong nợ, nhưng có khi vẫn giữ tiền cho immediate Investment nếu rất có tiềm năng lợi nhuận cao. So sánh 10 năm vơi 5 năm thì coi như là Medium Term and Long term rồi,

Trong 5 - 10 năm thì có khi đã go bust phá sản rồi ấy chứ, hihihi. Vấn đề cash và liquidity là rất quan trọng cho họat động kinh doanh và đầu tư của 1 công ty do đó, nhiều khi phải luôn đặt đầu tư lên trước debt payment, chả ai chỉ làm ăn để trả nợ cả.

Do đó luôn cần xác định rõ trong thời gian bao lâu sẽ trả nợ xong. Còn khoản trả nợ mỗi năm thì không quan trọng cứ phải tính theo straight line mà. Thường thì các công ty sau khi tính thu nhập của năm thì sẽ chi ra một khoản để trả nợ, khoản này cũng không nhất thiết phải cố định do phụ thuộc vào lơi nhuận và kế hoạch budget cho năm tới.

Có lẽ lợi ích duy nhất của constant payment là không phải tính toán mỗi năm thôi, hihihi, chỉ tính lúc đầu và cho vào kế hoạch, thế nhưng cũng chính vì thế mà nó không linh hoạt trong huy động vốn và lưu thông tiền mặt. Công ty nào vốn ít nhưng làm ăn được một phần cũng là do cái khoản lưu thông vốn và tiền mặt linh hoạt và hiệu quả thôi.
Có bác nào học về Finance có ý kiến gì không ạ? Em chưa học Finance, hihih, nhưng sẽ học, có điều khó khó thì phải.

Nguyễn Mạnh Hải
Toán[SUB]2[/SUB] 95-98

Hoàn toàn nhất trí với Hải về vấn đề liquidity … cái vấn đề của tớ nó nằm ở chỗ khi công ty muốn đánh giá hai dự án vay, nó phải đánh giá dựa trên: Thứ I là liquidity. Thứ II là cost of borrowing. Khi so sánh vay 10 năm với vay 5 năm ta không biết so sánh nó trên liquidity hay cost of borrowing cả. Nếu Liquidity thì vay 10 năm rõ ràng có lợi hơn nhưng nếu so sánh về cost of borrowing thì 5 năm có vẻ có lời hơn.

Như tớ đã nói lần trước, nếu lãi xuất vay cho kỳ hạn 5 năm tăng lên 20 % tại thời điểm 5 năm kể từ bây giờ thì all in borrowing cost của cái khoảng vay 5 + 5 năm trở nên đắt hơn 10 năm. Bài toán nên xuất phát từ nhu cầu của công ty, chắc chắn trong trường hợp này công ty cần vốn 10 năm vì nếu không thì nó chẳng xem xét vốn vay 10 năm làm gì cả. Trên thực tế, hai khoản vay này không thể tạo ra chênh lệch về cost of borrowing dựa trên những dự kiến mà Nhật Minh đưa ra.

Nếu gọi lãi suất vay kỳ hạn 5 năm tại thời điểm 5 năm tới là R thì R=((1+0.4)^10/(1+0.005)^5)^(1/(10-5))-1=7.62% ( kiểm tra lại hộ tớ cái phép tính - tớ dốt toán ). Điều này có nghĩa là thị trường đánh giá lãi suất kỳ hạn 5 năm sẽ tằng từ 0.5 % lên 7.62 % trong vòng 5 năm tới. nếu công ty nghĩ rằng lãi suất sẽ không thể lên cao như thế được thì họ sẽ chọn phương án vay 5 + 5. Nếu họ nghĩ lãi suất sẽ lên cao hơn như thế thì họ sẽ chọn phương án vay 10 năm. Không biết tớ có giải thích cái ý mình được rõ không ? Nếu tớ vẫn hiểu sai ý các cậu thì giúp giải thích thêm nhé.

Nguyen Hoai Anh
Anh[SUB]3[/SUB] 92-95

Ah

Thanx các bác nhìu, em giải ra rùi ạ.

Thật ra biến đổi một lúc mình sẽ có pt: (i+1)^t*K - P*(((i+1)^t+1 - 1))/(i) = 0; với interest compound anually
với i là interest rate, t là số năm và K là pricipal ban đầu và P là amount of each payment.

Có điều đúng là tương ứng với mỗi t thì có một P thật. Hì, còn về chuyện so sánh khoản 2 khoản vay 10 năm và 5 năm thì em chỉ thấy là thông thường long term loan sẽ có interest rate cao hơn do một số lý do về inflation, độ risky và cost of capital.

Ngay như ở US hồi xưa đối với các khoản vay morgate trên 30 năm các bank của Mỹ vẫn chấp nhận hình thức fixed interest rate. Nhưng nay do nên kinh tế có quá nhiều potential risk thế nên hầu hết các khoản vay morgate bây giờ đều là adjustable interest rate. Hoặc nếu borrower muốn apply cho fixed rate thì phải chị một tỉ lệ lãi xuất rất cao.

Về mặt liquidity thì em vẫn không hiểu lắm, trừ phi phía loaner dùng khoản cho vay của mình để apply LC hoặc CD thì lúc đó độ liquidity của khoản loan mới được tính đến để xác định face value của LC hay CD chứ nhể? Các bác giải thích thêm cho em nhá


Phan Nhật Minh
Toán[SUB]2[/SUB] 97-00

Úi dà, công nhận ở đây có nhiều nhân tài thật đấy. Mấy em học cụ thể về ngành gì vậy? Financing, accounting hay banking? Thực sự chị nghĩ những cái này chỉ có mấy người chuyên sâu vào vấn đền này mới phải vò đầu bứt tai với mấy bài toán đó thôi. Chị cũng thích đi sâu vào mấy vấn đề đó nhưng không có điều kiện để học. Thôi thì cho chị nói chuyện thực tế vậy nhé!

Theo như chị biết, có rất nhiều cách để tính lãi suất theo cách trường phái khác nhau. Ví dụ như có cả cách tính lãi suất theo sự tăng dần từng ngày hoặc tháng hoặc quí và khi thanh toán thì mình phải thanh toán lãi suất cả phần vốn vay + với cả lãi suất của lãi suất mà mình chưa thanh toán ( lãi mẹ, đẻ lãi con ấy mà). Công thức tính thì chị chịu vì nó dài loằng ngoằng chẳng nhớ nổi.

Sử dụng công thức tính như thế nào, cách thức thanh toán như thế nào lại là policy của mỗi nhà băng và phụ thuộc vào khả năng thực thi của công việc mà công ty vay vốn muốn đầu tư (+ khả năng negotiate của mình nữa). Còn khi mình muốn vay, dựa trên các điều kiện cho vay của các nhà băng và cách tính cụ thể của họ mình mới tính được thế nào là có lợi nhất. Cho nên nếu hỏi so sánh chung chung như em thì khó đánh giá lắm.

Ví dụ như công ty chị họ kí 2 hợp đồng vay vốn khác nhau - 1 để đều tư trực tiếp vào hàng hóa, 1 để sử dụng cho building + land.

Để đầu tư vào hàng, bank cho bọn chị một credit line ( lượng tiền max mà mình có thể borrow của họ) trong thời hạn 1 năm. Khi cty mua một một món hàng nào đó, bank họ sẽ thanh tóan trực tiếp tới cty mà mình đã mua hàng ( giống như sử dụng credit card vậy.) Với số hàng mua về, nếu chưa bán được thì hàng tháng sẽ chỉ phải trả interest cho số tiền mua hàng đó. Số tiền này thay đổi theo từng tháng vì số lượng hàng mình mua cũng thay đổi. Còn khi đã bán đưọc một món hàng nào đó thì tiền vốn mua hàng lại được thanh toán ngay cho nhà bang chứ mình cũng chẳng được giữ lại để làm vốn quay vòng hay gì đâu. Tóm lại hàng tháng sẽ chỉ phải trả tiền lãi thôi. Tới hạn cuối năm, khi mình không bán hết hàng thì khi đó interest rate sẽ tăng lên chứ không phải như trong năm đầu. (Interest rate - cứ 1 triệu $ - hàng tháng phải thanh toán 8000 trong năm đầu - hình như sẽ tương đương 9,6%/năm thì phải)

Còn vay tiền cho building + land thi trong thời hạn 18 năm và hàng tháng, số tiền phải trả là 1 khoản nhất định không thay đổi trong cả 18 năm. Số tiền mà mình thanh toán cho nhà băng, họ sẽ tính theo tỉ lệ là trong năm đầu 9,5 phần là thanh toán cho lãi suất, 0,5 phần là cho vốn, năm sau - 9 cho lãi 1 cho vốn... cứ như vậy giảm dần. Họ làm như vậy để họ đảm bảo được là họ thu về được hết lãi suất họ cho vay và trong trường hợp mình không có khả năng chi trả nữa thì họ vẫn thu hồi về được về phần lãi, còn phần vốn thì họ sẽ thanh lý building của mình. Bán được bao nhiêu, còn thiếu bao nhiêu so với vốn mình vay thì mình sẽ phải trả tiếp và họ sẽ tính interest cho phần đó. (Interest rate của phần vay này là 9.25%/năm).

Chẳng biết ví dụ này có giúp gì đưọc mấy em hay không nũa.

Ngô Tố Giao
Hoá[SUB]2[/SUB] 86-89

Hihi, cái topic này trở nên phức tạp vì nó nảy sinh ra nhiều vấn đề con quá.

Thứ nhất: để trả lời Nhật Minh về liquidity. Anh nghĩ Minh hiểu nhầm từ này sang tenor. Liquidity dùng để xác định availability of fund và nó rất là khó để định lượng. Thường thì nó không nằm trong bất kỳ một công thức tính toán nào nhưng nó ảnh hưởng đến giá các sản phẩm tài chính (bao gồm cả loan, bonds, shares…) thông qua liquidity preference (which in turn affect supply and demand).

Khi tớ nói vay 10 năm thì có lợi hơn về mặt liquidity có nghĩa là cái khoản vay của mình được bảo đảm cho 10 năm (availability of fund for 10 years) rõ ràng là hơn vay 5 năm vì lúc đó khoản vay chỉ được bảo đảm cho 5 năm, đến hết 5 năm mình lại phải vay mới nhưng không chắc là có vay được không. Có thể là sau 5 năm mình làm ăn không có lãi, creditworthiness của mình giảm, ngân hàng sẽ không cho vay nữa, và mình có thể bị phá sản do thiếu liquidity. Bởi thế nếu giá vay của 10 năm và 5 năm bằng nhau thì tất cả các công ty sẽ vay 10. Điều này sẽ làm cho lãi suất 10 năm tự nhêin tăng lên (classic supply/demand).Nó như kểu payoff giữa liquidity và cost of borrowing. Bởi thế công ty đưa ra quyết định vay đơn thuần dựa trên cost of borrowing và liquidity. Mà họ dựa vào borrowing needs và view on interest rate. Cái đoạn này hình như tớ đã có nói qua trong bài trước nếu mọi người vẫn có nhu cầu hiểu thêm về công ty đưa ra quyết định vay dựa trên interest rate view thế nào thì tớ sẽ trình bày lại theo cách khác. Thực ra ví dụ của chị Giao đưa ra cũng rất hay, liên quan nhiều đến borrowing needs, type of borrowing, liquidity preferences và interest rate view. Tớ sẽ tham gia góp ý sau vậy.

Nguyen Hoai Anh
Anh[SUB]3[/SUB] 92-95