Sau đoạn đối thoại ngoài lề, chúng ta lại nói chuyện tiếp về không gian metric
Không có p/p nào giúp các bạn hiểu kỹ vấn đề hơn là nghiền kỹ các ví dụ và phản ví dụ. Vậy chúng ta lại tiếp tục nghiền một số ví dụ không gian metric.
Có một lớp các không gian metric, được trang bị metric với nội dung hình học gần với cảm nhận khoảng cách của chúng ta. Cụ thể là, bất cứ 1 đa tạp Riemann nào cũng là 1 không gian metric với định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm của nó là độ dài đoạn cong (khả vi) ngắn nhất nối 2 điểm đó (geodesics). Mặt khác nghe đa tạp Riemann có vẻ to táp, như nghe chú Hải Thanh chú ấy dọa [-x, nhưng thực ra bất kỳ đa tạp Riemann nào cũng có thể nhúng đẳng cách vào không gian euclidean R^n với số chiều đủ lớn, nên thực ra đa tạp Riemann chỉ là 1 đa tạp con trong không gian R^n không hơn không kém. Tiện lợi và giá trị của đa tạp Riemann ở chỗ khác kia, hy vọng sẽ có dịp nói đến.
Lấy ví dụ, khoảng cách giữa 2 điểm trên mặt cầu có bán kính R, là độ dài đoạn của đường tròn lớn (xích đạo) trên mặt cầu nối 2 điểm đó, cụ thể là nếu tọa độ cầu của 2 điểm đó là p_i=(theta_i,phi_i), i=1,2, thì khoảng cách d(p_1,p_2) := R^2 [sin (theta_1) sin(theta_2) cos(phi_1-phi_2)-cos(theta_1) cos(theta_2) ]. Bài tập nhỏ trong dịp hè, các bạn thử biểu diễn khoảng cách trên các mặt ellipsoid, paraboloid và hiperboloid trong R^3 trong các tọa độ thích hợp.
Tiếp đến là vấn đề hình dung hay tưởng tượng (luyện tập tư duy hình học, quan trọng không chỉ cho những người làm Toán) những metrics mà tôi có dịp đưa ra làm ví dụ trong những lần trước.
Nguyễn Việt Hùng đã viết:
Túm lại, L_2 (Euclidean distance) là dường chim bay, còn L_1 là đường chim đi bộ . Còn L_p với p thuộc R+* (p>1) thì hihih, anh cũng không "mường tượng được" , cứ "téng" thôi.
Tuyệt vời, chú Việt Hùng (sắp thành tiến sĩ hói đầu
>- ) mạnh bạo nói đến 1 vấn đề hình học tế nhị, mà người ta dù không biết ít khi nói đến, ít khi thừa nhận! Chú Hùng cũng có những vướng mắc như rất nhiều các chuyên gia tên tuổi của nhiều lĩnh vực, dùng nhiều Toán, nhưng không hình dung được rõ nét khoảng cách L_p ra sao. Thực ra nó hết sức đơn giản, cho dù không có sách nào giải thích cho sinh viên, ng đọc hiểu thắc mắc này. Đầu tiên các bạn hãy hình dung trong không gian 2 chiều thôi, cho dễ miêu tả, chuyển từ 2 lên n rất dễ trong trường hợp này.
p=1 cái này đã được giải thích, như là đi theo cạnh các ô lưới.
Trong L_1, "đường tròn đơn vị" (
định nghĩa là tập hợp những điểm cách đều 1 điểm cho trước 1 khoảng 1 đơn vị) là bốn cạnh 1 hình vuông có cạnh sprt(2), xoay đi giống quân rô trong chơi bài (tú lơ khơ, tá lả).
p=2 cái này là khoảng cách euclidean thông thường, đo theo "đường chim bay".
Trong L_2, "đường tròn đơn vị" chính là đường tròn đơn vị theo mọi nghĩa thông thường.
p=bất kỳ, hữu hạn.
Trong L_p, "đường tròn đơn vị" là đường cong bậc p, có nghĩa là tập hợp
{(x,y) trong R^2: x^p + y^p =1 }.
Các đường cong này lưu ý là ngày càng "lồi hơn ra", với p tăng các hình sau giới hạn bằng đường cong bậc cao hơn, chứa hình trước giới hạn bởi đường cong bậc thấp hơn.
p= vô cùng, infinity.
Khoảng cách d là max hay sup đã nói đến.
Trong L_{infinity}, "đường tròn đơn vị" là 4 cạnh một hình vuông "lớn" có cạnh là 2. Hình vuông này như là giới hạn (p tiến tới vô cùng) của những hình lồi được giới hạn bởi đường cong bậc p, xác định bởi metric L_p. Liệu có vẫn đề gì tương tự, có nghĩa không, khi nói đến "giới hạn" một dãy các metrics?
Trong không gian vô hạn chiều, như không gian hàm số, khoảng cách giữa 2 hàm số (có tích phân bậc p) xác định trên tập hợp A trong L_p là d(f,g)= {\integral |f-g|^p }^{1/p} và trong L_{vô cùng} là d(f,g)=sup |f-g| trên A, các bạn cũng có thể tưởng tượng hình học trong đầu giống như R^n với n đủ lớn
Bên cạnh các metric L_p các bạn có thể đưa ra các metric "lai ghép" của các L_p. Ví dụ các bạn có thể lai ghép L_p với L_q như sau:
d(x,y) = { sum_{i=1,...,k} |x_i -y_i|^p + [ sum_{j=k+1,...,n} |x_j-y_j|^q ]^{p/q} }^{1/p}. Check it! Ví dụ với p=2, q=1, k=1, có thể thấy như đường chim bay trong thành phố đầy nhà trọc trời chẳng hạn.
Trong lý thuyết chơi cờ, trên bàn cờ vua cũng có thể định nghĩa metric, metric bàn cờ, khoảng cách giữa hai ô như là số nước (nhỏ nhất) mà vua cần để nhảy từ ô này tới ô kia. Tức là ngang dọc chéo bình đẳng như nhau.
Trong lý thuyết thông tin, có thể dùng 1 loại metric rất hay gọi là khoảng cách Levenshtein (ông này là do thái Nga, đưa ra khoảng 1965), để đo khoảng cách giữa 2 chuỗi ký tự. Khoảng cách giữa 2 chuỗi ký tự được định nghĩa là số nhỏ nhất các bước để biến đổi chuỗi này thành chuỗi kia, trong đó 1 bước hiểu là điền thêm vào 1 ký tự, xóa đi 1 ký tự, hoặc thay thế 1 ký tự này bằng 1 ký tự khác. Ví dụ nhiều software tìm lỗi chính tả (spell checkers) chính là đã dùng cái khoảng cách Levenshtein để prompt ra từ khác thay thế khi ng ta gõ sai lỗi chính tả.
Cuối cùng là 1 bài tập nhỏ làm trong 10 min, trong tập hợp số thực, khoảng cách giữa 2 số thực x,y được định nghĩa bằng |x-y| nếu cả hai số đó là số hữu tỉ, và d(x,y)=1 nếu có ít nhất một trong hai số là số vô tỉ. Thử xem đây có là metric không? Thử xem R^2 (mặt phẳng) với "metric" này và với metric "lai" với L_2 sẽ ra sao?
[Còn tiếp tục ...]
