Bất đẳng thức đê

bacsytuonglai2010

Nguyễn Đức Huy
(bacsytuonglai2010)

New Member
mình là thành viên mới,post mấy bài BĐT ra mắt cái nhẩy
*Cho abc=1.a,b,c>o.CMR:a^2+b^2+c^2+3>=a+b+c+ab+bc+ca
ab/(c+1) + bc/(a+1) +ca/(b+1)>=3/2
*Cho a+b+c=3.a,b,c>0.CMR:
1/a^2 +1/b^2 +1/c^2>=a^2+b^2+c^2(bài này thi chọn đội tuyển trường mình :D)
post 2 bài thôi,về tìm thêm đã :D
 
Chỉnh sửa lần cuối:
Anh làm từ dưới lên trên :

Câu 3 :

Ko mất tổng quát giả sử a >= b >= c

Có 2 trường hợp :

1. a >= 2 :

c <= (3-a)/2 suy ra 1/c^2 >= 4/(3-a)^2.
Dễ dàng chứng minh 4/(3-a)^2 >= a^2 (do a>=2)
Suy ra : 1/c^2 >= a^2, và do đó 1/a^2 >= c^2 (1)
b < 1 => 1/b^2 > 1 > b^2 (2)

(1)&(2) => dpcm

2. a < 2;

Với mọi x<2 ta có : (x-2)(x+1/2)(x-1)^2 <=0
Khai triển ra thì được :
x^4 - 7/2*x^3 + 3x^2 + 1/2*x - 1 <= 0;

Chia 2 vế cho x^2 được :
x^2 - 7/2*x + 3 + 1/2*1/x - 1/x^2 <=0;

Thay lần lượt a,b,c vào x rồi cộng theo từng vế :

(a^2 + b^2 + c^2) - 3/2 + 1/2*(1/a + 1/b + 1/c) - (1/a^2 +1/b^2 + 1/c^2) <=0

Do 1/a + 1/b + 1/c >= 9/(a+b+c) = 3 , suy ra dpcm

----------

Câu 2 :

BDT tương đương với : 1/(a*(a+1)) + ... >= 3/2;

Xét hàm f(x) = 1/(x*(x+1)), x > 0;

Nhận xét : (f(a) + f(b))/2 >= f((a*b)^1/2) với mọi a,b > 0;

Dễ dàng chứng minh : (f(a) + f(b) + f(c))/3 >= f((a*b*c)^1/3) = 1/2

Suy ra dpcm.
 
Chỉnh sửa lần cuối:
Câu 1

Ko mất tổng quát giả sử a >= b >= c;

BDT tương đương với :
a^2 + (b^2 + c^2) + 3 >= a + (b+c) + a*(b+c) + 1/a; (*)

Có (b^2 + c^2) >= 1/2 * (b+c)^2

VT(*) >= a^2 + 1/4 * (b+c)^2 + 2 + (1/4 * (b+c)^2 + 1)
>= a^2 + 1/4 * (b+c)^2 + 2 + (b+c)
= M

Chỉ cần chứng minh M >= VP(*).
Có :
M >= VP(*)
<=> a^2 + 1/4 * (b+c)^2 + 2 >= a*(b+c) + a + 1/a
<=> (a-(b+c)/2)^2 >= ((a-1)^2)/a (**)

NX : b+c <= a + 1/a^2 (dễ dàng chứng minh)

Suy ra :

(a-(b+c)/2)^2 >= 1/4 * (a - 1/a^2)^2 (1)
1/4 * (a- 1/a^2) >= ((a-1)^2)/a (2)

(2) rất dễ chứng minh .

(1)&(2) => (**) => dpcm
 
thêm 1 bài nữa
Cho a>=b>=c>1.CMR
a^a + b^b +c^c>=a^b + b^c + c^a
bài này có 1 cách giải hay lắm :D
 
Lời giải câu trên :

Nhận xét 1 : Hàm f(x) = x^u - x^v , u >= v > 1
là hàm tăng với x > 1.

Nhận xét 2 : x^x + y^y >= x^y + y^x (x,y > 1)
(Giả sử x > y thì x^x - x^y >= y^x - y^y theo nhận xét 1)

Từ 2 nhận xét ta có :
a^a + b^b + c^c >= a^a + b^c + c^b (theo nhận xét 2)
= (a^a - a^b) - (c^a - c^b) + a^b + b^c + c^a
>= a^b + b^c + c^a (theo nhận xét 1)

=> dpcm
 
em dùng cách này nhanh hơn :))
ta có:a^a + b^b >= a^b + b^a
b^a + c^c >= b^c + c^a
cộng hai bpt là ra thôi :D
làm như anh phức tạp quá :))
 
Chú có hiểu những j mình viết ko ? Chú viết ko giải thích, như kiểu hiển nhiên ai cũng biết.
Tự nhiên đâu ra 2 cái BDT đấy.
 
Chỉnh sửa lần cuối:
chứng mình đây ạ :D
a^a + b^b >= a^b + b^a (1)
<=>a^b[a^(a-b) - 1] - b^b[b^(a-b) - 1] >=0 (2)
a>=b>1---->{a^b >= b^b >0};{a^(a-b) - 1 >= b^(a-b) -1 >0}
--->(2)<=>(1) :D
cái dưới chứng minh tương tự thoai :D
bài dễ nữa nè
Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn a + b + c + d=a^2 + b^2 + c^2 + d^2.Tìm max: a^3 + b^3 + c^3 + d^3
 
Chỉnh sửa lần cuối:
Nguyễn Đức Huy đã viết:
chứng mình đây ạ :D
a^a + b^b >= a^b + b^a (1)
<=>a^b[a^(a-b) - 1] - b^b[b^(a-b) - 1] >=0 (2)
a>=b>1---->{a^b >= b^b >0};{a^(a-b) - 1 >= b^(a-b) -1 >0}
--->(2)<=>(1) :D
cái dưới chứng minh tương tự thoai :D
bài dễ nữa nè
Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn a + b + c + d=a^2 + b^2 + c^2 + d^2.Tìm max: a^3 + b^3 + c^3 + d^3
Nhấn để mở rộng...

:D Em làm thế này thì khác j anh ?
 
em chứng minh 1 mạch :)),anh tương cả hàm số vào nên dài hơn =))
làm tiếp bài ở dưới đi ạ :D
 
Chỉnh sửa lần cuối:
Đấy ko gọi là 1 cách.

Sao em ko post lời giải của em lên. Còn chỉ post bài lên đây thì để làm j ?
 
Bài giải của em khá dài dòng nên em post đề bài lên đây xem ai có cách làm ngắn hơn ko :D
Một điều nữa là mấy bài BĐT này giúp mọi người rèn luyện khả năng tư duy.Nếu chưa suy nghĩ mà post bài giải lên thì còn gì hay nữa hả anh ^^
 
Em ko cần chờ mọi người. Tự mình chủ động post lời giải thì hơn. Ai cần nghĩ thì sẽ tự nghĩ mà ko cần xem lời giải của em.

Anh cũng rất thích dạng toán này. Lâu lâu ko động đến, tự nhiên rỗi rãi ngồi làm thấy rất thích. Thank em đã post bài.
Còn 1 điều nữa là nếu đã post bài thì đừng post kiểu "Một bài dễ nữa". Hay thì post, dễ quá thì đừng post.
 
sorry ông anh,thói quen rồi,em sẽ cố gắng sửa :D
bài trên em dùng định lí lagrange nên bài giải khá dài dòng(em chưa nghĩ ra cách sơ cấp hơn8-} ),đáp số cũng ko được đẹp lắm
a=b=c=(1+căn3)/2căn3
d=(1+căn3)/2
nhưng em thấy hơi lạ vì bài chỉ có 3 biến =.Mọi người thử giải xem đáp số = bao nhiêu,nếu đáp số có 4 biến bằng nhau thì chắc cách của em sai rồi
 
Xin lỗi em mượn tạm nick chị này,forum chờ kích hoạt lâu quá
Em là ConanKudo học lớp 11 ở SP :)^^
Cho em bon chen cái bài trên kia nhé
a^a+b^b+c^c>=a^b+b^c+c^a
Xét f(x)=x^x-x^b-c^x
Có f'(x)=(lnx+1)x^x-bx^{b-1}-lnc.c^x >0 với x thuộc khoảng [b,dương vô cùng]
Suy ra hàm f đồng biến trên khoảng đó
Suy ra f(a)>=f(b)
=>a^a+b^b+c^c-a^b-b^c-c^a>=b^b+c^c-b^c-c^b
Làm tương tự lần nữa ta có đpcm ^^
Solution này có thể làm tổng quát n số
Còn bài anh Huy chơi dồn biến thôi,trong Sáng tạo BĐT có.
Sorry vì đã bon chen,em té đây .Nhìn thấy bài này hơi ngứa nghề tý :p
 
Cho mình hỏi, việc đoán trước dấu "=" xảy ra trong giải BĐT ấy (thường thì khi đó các số t/ư = nhau đồng loạt) có ju'p ích j` cho việc giải BĐT ko :-?
Có cách nào hiệu quả lần mò từ đáp số về được vs BĐT cần phải chứng minh :-? (tức là phải mình phải đoán ra cần dùng công cụ j` ấy :p)
Cảm ơn a e đã chia sẻ :D
 
Chỉnh sửa lần cuối:
Bạn phải đăng nhập hoặc đăng ký để phản hồi tại đây.
Back
Bên trên