Nguyễn Quang Hưng
(sonnet)
New Member
Hi các bạn trẻ yêu Toán sơ cấp!
Tôi lập ra mục này để chúng ta vào đây vui vẻ bàn về 1 số bài "hay" xuất hiện trong các kỳ thi Toán quốc tế. Mục đích không phải là đưa ra các lời giải những bài toán đó, dĩ nhiên nếu bạn trẻ nào đưa ra được lời giải mới độc đáo thì rất đáng khen, mà chúng ta sẽ quan tâm chủ yếu đến logic đi tìm lời giải, hay các con đường dẫn tới lời giải, còn bản thân lời giải lại là chuyện .... thứ yếu.
Thế nào là bài toán "hay"? Trước hết phải nói rõ là khái niệm này mang nặng tính chủ quan và phụ thuộc vào sở thích của mỗi người. Nói thế nhưng cũng không nên loại trừ khả năng thiết lập được định nghĩa toán học cho nó
Để bắt đầu, chúng ta thử bàn về 3 bài toán, 1 bài combinatorics, 1 bài "đại số", 1 bài số học, xuất hiện năm 2003:
1)
S là tập hợp {1, 2, 3, ... , 1000000}. Chứng minh rằng với mọi tập hợp con A của S chứa 101 phần tử, đều có thể tìm được 100 phần tử khác nhau x_i của S, sao cho các tập hợp x_i + A là đôi một không giao nhau. Ở đây x_i + A là tập hợp {a + x_i | a trong A}.
2)
Giả sử n > 2 và các số thực x_1 ≤ x_2 ≤ ... ≤ x_n, chứng minh rằng (∑i,j |x_i - x_j| )^2 ≤ (2/3) (n^2 - 1) ∑i,j (x_i - x_j)^2. Khi nào có dấu bằng?
3)
CMR với mỗi số nguyên tố p, tồn tại số nguyên tố q sao cho n^p - p không chia hết cho q với mọi số tự nhiên n.
Ngẫm nghĩ mỗi bài 15min, các bạn có những suy nghĩ gì ? Những ý tưởng gì xuất hiện ?
Tôi lập ra mục này để chúng ta vào đây vui vẻ bàn về 1 số bài "hay" xuất hiện trong các kỳ thi Toán quốc tế. Mục đích không phải là đưa ra các lời giải những bài toán đó, dĩ nhiên nếu bạn trẻ nào đưa ra được lời giải mới độc đáo thì rất đáng khen, mà chúng ta sẽ quan tâm chủ yếu đến logic đi tìm lời giải, hay các con đường dẫn tới lời giải, còn bản thân lời giải lại là chuyện .... thứ yếu.
Thế nào là bài toán "hay"? Trước hết phải nói rõ là khái niệm này mang nặng tính chủ quan và phụ thuộc vào sở thích của mỗi người. Nói thế nhưng cũng không nên loại trừ khả năng thiết lập được định nghĩa toán học cho nó
Để bắt đầu, chúng ta thử bàn về 3 bài toán, 1 bài combinatorics, 1 bài "đại số", 1 bài số học, xuất hiện năm 2003:
1)
S là tập hợp {1, 2, 3, ... , 1000000}. Chứng minh rằng với mọi tập hợp con A của S chứa 101 phần tử, đều có thể tìm được 100 phần tử khác nhau x_i của S, sao cho các tập hợp x_i + A là đôi một không giao nhau. Ở đây x_i + A là tập hợp {a + x_i | a trong A}.
2)
Giả sử n > 2 và các số thực x_1 ≤ x_2 ≤ ... ≤ x_n, chứng minh rằng (∑i,j |x_i - x_j| )^2 ≤ (2/3) (n^2 - 1) ∑i,j (x_i - x_j)^2. Khi nào có dấu bằng?
3)
CMR với mỗi số nguyên tố p, tồn tại số nguyên tố q sao cho n^p - p không chia hết cho q với mọi số tự nhiên n.
Ngẫm nghĩ mỗi bài 15min, các bạn có những suy nghĩ gì ? Những ý tưởng gì xuất hiện ?
