Nguyễn Quang Hưng
(sonnet)
New Member
Đại số tuyến tính là môn học bắt buộc trong chương trình năm đầu ở các trường đại học, ở phần lớn các ngành học thuộc khối khoa học tự nhiên, Toán, khối kỹ thuật, và kinh tế. Thực tế gần đây cho thấy là khối khoa học xã hội rất nhiều ngành (như tâm lý, lịch sử, địa lý, quản lý nhân sự, khoa học chính trị) cũng như y khoa, ở một tầm cao nhất định, phải cần đến những kết quả cơ bản, phương pháp cũng như công cụ của bộ môn này. Tôi có thể đánh cuộc là tất cả kiến thức toán mà các bạn được học trong 12 năm ở bậc phổ thông có ít ứng dụng thực tiễn hơn một mình .... đại số tuyến tính.
Thế vậy đối tượng của bộ môn đại số tuyến tính (ĐSTT) là cái gì mà giá trị sử dụng của nó lại nhiều như vậy ?
Ở bậc abstract, nói ngắn gọn, đối tượng chính của ĐSTT là không gian tuyến tính cùng các không gian con, ánh xạ tuyến tính cùng các bất biến; còn ở bậc ứng dụng và cội nguồn lịch sử, đối tượng của ĐSTT là các hệ phương trình (và cả bất phương trình) tuyến tính, phương trình nói đến ở đây ở bậc tổng quát nhất bao gồm cả phương trình vi-tích phân chứ không chỉ đơn giản là phương trình đại số mà các bạn đã quen thuộc từ lớp 5; lý thuyết ma trận, giải tích số ma trận. Nó xuất hiện ở mọi nơi, trong các vấn đề lập trình và tối ưu hóa tuyến tính, signal processing, độ phức tạp của algorithms/computation vd. nổi tiếng là Turing LU decomposition, vv.
Mở đầu hôm nay chúng ta hãy làm quen với khái niệm cơ sở nhất của ĐSTT là không gian tuyến tính.
Không gian tuyến tính hay không gian véc tơ trên trường số K (trường số thực R hoặc trường số phức C) là tập hợp V với hai phép toán:
1) Cộng véc tơ: được định nghĩa trên tích Decard (Catesian product) V × V với giá trị trong V và nó được ký hiệu v + w, where v, w trong V, and
2) Nhân với vô hướng (scalar multiplication): được định nghĩa trên tích Decard (Catesian product) F × V với giá trị trong V và được ký hiệu a v, where a trong K và v trong V.
Những phép toán này thỏa mãn những điều kiện (tiên đề sau),
với mọi a, b trong K; u, v và w trong V:
i1) Cộng véc tơ là kết hợp (associative): u + (v + w) = (u + v) + w.
i2) Cộng véc tơ là giao hoán (commutative): v + w = w + v.
i3) Có véc tơ ZERO: tồn tại 0 trong V, sao cho với mọi v trong V, v + 0 = v.
i4) Có véc tơ ngược: với mỗi véc tơ v trong V tồn tại phần tử w trong V sao cho v + w = 0.
i5) Nhân với vô hướng là kết hợp (associative): a(bv) = (ab)v.
i6) Nhân với 1 không thay đổi kết quả: 1 v = v, ở đó 1 là phần tử đơn vị của phép nhân trong trường K.
i7) Phép nhân với vô hướng và cộng véc tơ thỏa mãn đ/k liên kết: a(v + w) = a v + a w.
i8) Cộng vô hướng trong K liên kết với phép nhân với vô hướng: (a + b)v = a v + b v.
Các phần tử trong V được gọi là véc tơ, còn các phần tử trong trường K gọi là vô hướng. Trong các ứng dụng thực tế thì trường vô hướng K là trường số thực hoặc trường số phức. Trong Toán thì K có thể là trường abstract bất kỳ, có character bằng 0 hoặc khác 0 (tức là có a trong K sao cho a+a+a+...+a=0 hay không có), trong Vật lý (lý thuyết) đôi khi cũng cần phải dùng trường số khác R hoặc C.
Lưu ý thêm một điểm nữa là nếu nếu duy trì tất cả các tính chất (tiên đề ở trên) chỉ thay trường số K bằng vành (giao hoán) thì lúc đó ta có cấu trúc MODUL V. Một số người chấp nhận vành không giao hoán trong định nghĩa MODUL.
Nói chung, trong Toán tên gọi thông dụng nhất là không gian tuyến tính, còn trong các ngành khác (kỹ thuật, kinh tế, y khoa) tên gọi thông dụng là không gian véc tơ.
Không gian véc tơ trên trường số thực (phức) được gọi không gian véc tơ thực (phức) tương ứng.
Các ví dụ cơ bản nhất của không gian véc tơ (tuyến tính):
1) Không gian chỉ có 1 phần tử là véc tơ ZERO { 0 }
2) Không gian n chiều K^n định nghĩa trên tích Decard của trường số K, ở đó phép cộng véc tơ và nhân với vô hướng được định nghĩa như sau:
(x_1,x_2,...,x_n)+(y_1,y_2,...,y_n):=(x_1+y_1,x_2+ y_2,....,x_n+y_n);
a (x_1,x_2,....,x_n):=(a x_1,a x_2,.....,a x_n).
3) Không gian vô hạn chiều K^{vô cùng}. Có thể định nghĩa tương tự như trên.
4) Không gian các ma trận K^{m x n} trong đó m,n là các số tự nhiên, số hàng và số cột của ma trận. Ở đây, cộng ma trận được định nghĩa bằng cộng theo các phần tử tương ứng của ma trận, nhân với vô hướng là nhân tất cả các phần tử của ma trận với vô hướng.
5) Không gian các đa thức một biến K[x] hay không gian các đa thức n biến
K[x_1,x_2,.....,x_n]. Định nghĩa cộng đa thức và nhân với vô hướng các bạn đều đã biết, nếu chưa biết xem định nghĩa tổng quát trong ví dụ 6.
6) Không gian các hàm số được xác định trên tập hợp bất kỳ X có giá trị trong không gian véc tơ cho trước W; tức là V = { f : X ----> W } trong đó cộng véc tơ và nhân với vô hướng được định nghĩa như sau:
(f+g)(x):= f(x)+g(x); (a f)(x):= a f(x).
Tuyệt đại đa số các không gian véc tơ là không gian hàm số được định nghĩa theo cách như trên.
Thế vậy đối tượng của bộ môn đại số tuyến tính (ĐSTT) là cái gì mà giá trị sử dụng của nó lại nhiều như vậy ?
Ở bậc abstract, nói ngắn gọn, đối tượng chính của ĐSTT là không gian tuyến tính cùng các không gian con, ánh xạ tuyến tính cùng các bất biến; còn ở bậc ứng dụng và cội nguồn lịch sử, đối tượng của ĐSTT là các hệ phương trình (và cả bất phương trình) tuyến tính, phương trình nói đến ở đây ở bậc tổng quát nhất bao gồm cả phương trình vi-tích phân chứ không chỉ đơn giản là phương trình đại số mà các bạn đã quen thuộc từ lớp 5; lý thuyết ma trận, giải tích số ma trận. Nó xuất hiện ở mọi nơi, trong các vấn đề lập trình và tối ưu hóa tuyến tính, signal processing, độ phức tạp của algorithms/computation vd. nổi tiếng là Turing LU decomposition, vv.
Mở đầu hôm nay chúng ta hãy làm quen với khái niệm cơ sở nhất của ĐSTT là không gian tuyến tính.
Không gian tuyến tính hay không gian véc tơ trên trường số K (trường số thực R hoặc trường số phức C) là tập hợp V với hai phép toán:
1) Cộng véc tơ: được định nghĩa trên tích Decard (Catesian product) V × V với giá trị trong V và nó được ký hiệu v + w, where v, w trong V, and
2) Nhân với vô hướng (scalar multiplication): được định nghĩa trên tích Decard (Catesian product) F × V với giá trị trong V và được ký hiệu a v, where a trong K và v trong V.
Những phép toán này thỏa mãn những điều kiện (tiên đề sau),
với mọi a, b trong K; u, v và w trong V:
i1) Cộng véc tơ là kết hợp (associative): u + (v + w) = (u + v) + w.
i2) Cộng véc tơ là giao hoán (commutative): v + w = w + v.
i3) Có véc tơ ZERO: tồn tại 0 trong V, sao cho với mọi v trong V, v + 0 = v.
i4) Có véc tơ ngược: với mỗi véc tơ v trong V tồn tại phần tử w trong V sao cho v + w = 0.
i5) Nhân với vô hướng là kết hợp (associative): a(bv) = (ab)v.
i6) Nhân với 1 không thay đổi kết quả: 1 v = v, ở đó 1 là phần tử đơn vị của phép nhân trong trường K.
i7) Phép nhân với vô hướng và cộng véc tơ thỏa mãn đ/k liên kết: a(v + w) = a v + a w.
i8) Cộng vô hướng trong K liên kết với phép nhân với vô hướng: (a + b)v = a v + b v.
Các phần tử trong V được gọi là véc tơ, còn các phần tử trong trường K gọi là vô hướng. Trong các ứng dụng thực tế thì trường vô hướng K là trường số thực hoặc trường số phức. Trong Toán thì K có thể là trường abstract bất kỳ, có character bằng 0 hoặc khác 0 (tức là có a trong K sao cho a+a+a+...+a=0 hay không có), trong Vật lý (lý thuyết) đôi khi cũng cần phải dùng trường số khác R hoặc C.
Lưu ý thêm một điểm nữa là nếu nếu duy trì tất cả các tính chất (tiên đề ở trên) chỉ thay trường số K bằng vành (giao hoán) thì lúc đó ta có cấu trúc MODUL V. Một số người chấp nhận vành không giao hoán trong định nghĩa MODUL.
Nói chung, trong Toán tên gọi thông dụng nhất là không gian tuyến tính, còn trong các ngành khác (kỹ thuật, kinh tế, y khoa) tên gọi thông dụng là không gian véc tơ.
Không gian véc tơ trên trường số thực (phức) được gọi không gian véc tơ thực (phức) tương ứng.
Các ví dụ cơ bản nhất của không gian véc tơ (tuyến tính):
1) Không gian chỉ có 1 phần tử là véc tơ ZERO { 0 }
2) Không gian n chiều K^n định nghĩa trên tích Decard của trường số K, ở đó phép cộng véc tơ và nhân với vô hướng được định nghĩa như sau:
(x_1,x_2,...,x_n)+(y_1,y_2,...,y_n):=(x_1+y_1,x_2+ y_2,....,x_n+y_n);
a (x_1,x_2,....,x_n):=(a x_1,a x_2,.....,a x_n).
3) Không gian vô hạn chiều K^{vô cùng}. Có thể định nghĩa tương tự như trên.
4) Không gian các ma trận K^{m x n} trong đó m,n là các số tự nhiên, số hàng và số cột của ma trận. Ở đây, cộng ma trận được định nghĩa bằng cộng theo các phần tử tương ứng của ma trận, nhân với vô hướng là nhân tất cả các phần tử của ma trận với vô hướng.
5) Không gian các đa thức một biến K[x] hay không gian các đa thức n biến
K[x_1,x_2,.....,x_n]. Định nghĩa cộng đa thức và nhân với vô hướng các bạn đều đã biết, nếu chưa biết xem định nghĩa tổng quát trong ví dụ 6.
6) Không gian các hàm số được xác định trên tập hợp bất kỳ X có giá trị trong không gian véc tơ cho trước W; tức là V = { f : X ----> W } trong đó cộng véc tơ và nhân với vô hướng được định nghĩa như sau:
(f+g)(x):= f(x)+g(x); (a f)(x):= a f(x).
Tuyệt đại đa số các không gian véc tơ là không gian hàm số được định nghĩa theo cách như trên.
Chỉnh sửa lần cuối: