Những điều KỲ THÚ trong TOÁN HỌC

[Chu Anh Duy (boytotbung)]

Những điều KỲ THÚ trong TOÁN HỌC (sưu tầm)

1- HẰNG SỐ KAPREKAR

Con số thần kỳ (magic number) này có giá trị 6174. Một con số tầm thường, chẳng có gì là ấn tượng phải không các bạn? Nhưng khoan đã, mình xin bạn hãy làm các bước sau:

1- Chọn một con số bất kỳ gồm 4 chữ số (dĩ nhiên với điều kiện cả 4 chữ số này không được trùng nhau như 1111, 2222,...) Ví dụ mình thử chọn ngày tháng hôm nay là 1401 đi.

2- Đảo lộn thứ tự các chữ số sao cho mình chọn được 2 con số lớn nhất và nhỏ nhất thu được từ việc đảo lộn này. Trong ví dụ của mình là hai số 4110 và 0114.

3- Lấy số lớn nhất trừ đi số nhỏ nhất:
4110 - 0114 = 3996

4- Lặp lại bước 2 và 3 đối với hiệu số vừa thu được. Như vậy ta có các bước sau:
9963 - 3699 = 6264
6642 - 2466 = 4176
7641 - 1467 = 6174
7641 - 1467 = 6174 ...

Bạn đã thấy gì chưa? Hằng số Kaprekar xuất hiện sau phép trừ thứ 4 ! Dĩ nhiên là bắt đầu từ đây bạn sẽ dậm chân tại chỗ, không thu được số nào khác ngoài hằng số này.

Có thể điều này chỉ là sự trùng hợp, không có gì đáng lạ lắm. Nhưng điều kỳ diệu chính là: nếu ngay từ đầu bạn chọn một số bất kỳ nào khác thì cuối cùng bạn cũng sẽ phải dậm chân tại hằng số Kaprekar chứ không phải một số nào khác! Nếu không tin bạn cứ thử xem. Và bạn sẽ không phải mất thời gian tính toán vì với bất kỳ số nào, bạn cũng sẽ chỉ mất tối đa 7 bước (7 phép trừ) để đi đến kết quả cuối cùng.

Kaprekar là tên của một nhà toán học nghiệp dư người Ấn Độ đã phát hiện ra hằng số này vào năm 1946.

Quy luật này không chỉ dành cho các số 4 chữ số, mà còn có các "hằng Kaprekar" khác dành cho các số có 3, 5, 6,... chữ số. Bạn thử tìm các hằng số này xem!

 

[Chu Anh Duy (boytotbung)]

BÀI TOÁN NGÀY SINH

Trong một bữa tiệc liên hoan làm quen đầu năm của lớp bạn (khoảng 30 người), anh chàng đeo kính cận có vẻ ít nói nhất lớp chợt đứng lên tuyên bố:

- Để góp vui cho bữa tiệc hôm nay, mình có một trò vui này. Mình xin đánh cá một chầu kem là trong tất cả chúng ta có mặt ở đây phải có ít nhất 2 người có trùng ngày tháng sinh với nhau (không tính năm sinh). Để kiểm chứng mỗi người sẽ viết ngày sinh của mình vào một mẩu giấy. Ai dám đánh cá với mình?

Dĩ nhiên vì mới gặp mặt lần đầu nên trong lớp không ai biết ngày sinh của nhau cả. Thế là cả lớp nhao nhao đòi đánh cá với anh chàng kính cận, chắc bẩm phen này được một chầu kem miễn phí. Còn bạn, bạn sẽ theo phe nào?

Nếu bạn chưa biết về bài toán ngày sinh này thì mình chắc rằng bạn sẽ hùa theo cả lớp thôi, vì bạn lý luận thế này: một năm có đến 365 ngày, trong khi ở đây chỉ có 30 người thôi, vậy thì xác suất hai người trùng ngày sinh là quá nhỏ, ít nhất thì cũng phải dưới 50% là cái chắc! Nhưng bạn và cả lớp bạn không hề biết rằng anh chàng kính cận là một tay giỏi toán !

Bây giờ ta hãy trả lời câu hỏi: liệu cần phải có ít nhất bao nhiêu người để xác suất 2 người trùng ngày sinh là trên 50%? 30 người? 50? 100? Hay hơn? Nếu bạn chịu khó giải một bài toán xác suất nho nhỏ thì có thể kết luận rằng: con số này nhỏ hơn nhiều so với dự đoán của chúng ta: chỉ là 23 thôi! Lên đến 30 người thì xác suất trùng là 70% ! Xác suất này sẽ tăng chóng mặt: 90% đối với 41 người, 95% với 47 người, và thậm chí với 57 người xác suất là gần như chắc chắn (trên 99%) !!! Như vậy rõ ràng anh chàng kia “trên cơ” các bạn với xác suất 70%, mà nếu sỉ số lớp bạn trên 50 thì hiển nhiên anh ta được bao nhiêu chầu kem miễn phí (ai bảo kiến thức toán không có lợi hì hì) Bản thân mình cũng đã áp dụng kiến thức này trong các buổi họp mặt và đều thành công mỹ mãn.

Một điều đáng nói nữa là cho dù có bạn nào đó ăn gian bằng cách nói dối ngày sinh của mình thì cũng không “chết ai” vì xác suất cũng vậy thôi, không thay đổi (bạn hãy thử ngẫm nghĩ mà xem).

Lại một lần nữa chúng ta nhận thấy rằng trực giác của mình không hoàn hảo và nhiều khi đánh lừa chúng ta đến mức khó tin.

 

[Chu Anh Duy (boytotbung)]

3- SỢI DÂY TRÊN SÂN VẬN ĐỘNG

Bây giờ nói đến hình học. Trong bài toán trước bạn đã ngạc nhiên với trực giác sai lạc của mình bao nhiêu thì trong ví dụ này bạn sẽ càng kinh ngạc hơn gấp bội, mặc dù nó chẳng phài là hiện tượng gì cao siêu lắm mà bản chất rất đơn giản và một học sinh cấp 1 có thể hiểu được.

Giả sử trên một sân vận động bóng đá bạn giăng một sợi dây thừng từ cột phải của khung thành bên này đến tận cột trái của khung thành bên kia (lưu ý là hai cột này đối diện nhìn thẳng nhau chứ không nhìn chéo nhau). Sợi dây nằm sát đất, được kéo thật căng rồi mới buộc vào hai đầu, nên nó có chiều dài của sân là 100m, chạy song song với đường biên dọc và vuông góc với lằn vôi giữa sân.

Bây giờ bạn cởi nút một đầu dây và nới cho đoạn dây dài thêm đúng nửa mét (50cm) rồi buộc lại. Như vậy đoạn dây bây giờ sẽ dài 100,5m và hơi chùng một tí. Sau đó bạn bước đến lằn vôi giữa sân, nắm ngay điểm giữa của đoạn dây và nâng nó lên hết cỡ (sao cho đoạn dây có hình chữ V ngược). Câu hỏi là: liệu bạn sẽ nâng đoạn dây này lên được khoảng cách bao nhiêu so với mặt đất?

a) Khoảng cách cực kỳ nhỏ đến nỗi đút ngón tay vào cũng không lọt.
b) Chỉ đủ để chui người qua.
c) Cao khỏi đầu.
d) Đủ cao để một chiếc xe tải qua lọt.

Bạn hãy dùng trực giác của mình (không được tính toán) để đoán xem câu trả lời nào là đúng nhất. Tôi sẽ dành một khoảng trống cho bạn suy nghĩ trước khi đọc lời giải.

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?


Đa số bạn chọn lời giải A, rất ít chọn B. Nhưng tất cả các bạn sẽ rất ngạc nhiên khi biết D mới là câu trả lời đúng! Lúc nãy tôi đã lừa các bạn khi nói đoạn dây chỉ “chùng đi một tí”. Thật ra, độ chùng của nó rất lớn, muốn nâng nó lên cao hết cỡ thì bạn không thể tự làm được mà phải dùng đến thang, vì chiều cao mà nó có thể đạt được lên đến 5 mét! Con số này dù khó tin đến mấy nhưng có thể suy ra một cách rất đơn giản từ định lý Pitagor (nếu cần bạn hãy tự vẽ hình minh họa):

H = SQRT( (100,5 / 2)2 – (100 / 2)2 ) ~= 5m

Bây giờ thì bạn đã tin chưa? Chỉ một đoạn dây 5 tấc thôi (mà bạn tưởng là nhỏ nhặt) cũng đã tạo một sự khác nhau rất lớn trong một sợi dây 100m! Trong trường hợp này, trực giác đã đi ngược chiều với thực tế: khi sợi dây ban đầu (hay sân vận động) càng dài, thì đa số chúng ta nghĩ chiều cao nói trên càng thấp, nhưng thực tế trái lại. Ví dụ, nếu sân vận động dài 200m thì cho dù sợi dây vẫn chỉ được nới thêm 0,5m như trước, nhưng lần này ta có thể nâng nó lên đến 7m cơ đấy!

Có một bài toán hình học lạ lùng tương tự là “Vành đai xích đạo” nhưng để thay đổi không khí mình sẽ dành nó cho một dịp khác.

 

[Chu Anh Duy (boytotbung)]

4- NGHỊCH LÝ CHIM GẮP HẠT

Bây giờ mình chuyển qua một đề tài mà tình cờ mình có thấy nhắc đến trong một topic gần đây ở forum này. Một trong những lĩnh vực đẻ ra những khái niệm “khó tin” nhất trong toán học.

Thật ra từ “nghịch lý” mình dùng không được chính xác lắm nhưng để đơn giản từ đây mình sẽ dùng nó với nghĩa “những bài toán hay sự kiện có kết quả vô lý (hay tưởng chừng vô lý), không đúng với trực giác và suy luận của con người, nhưng được suy ra từ những lý luận có lý (hay tưởng chừng có lý)”. Đại khái thế. Có nghĩa là, sẽ có nghịch lý thật, và cũng sẽ có nghịch lý giả.

Có hai chàng nông dân (gọi là Nông và Dân cho nó gọn nhé ) cùng gieo hạt lúa ở hai luống cạnh nhau. Giả sử họ cùng bắt đầu ở một thời điểm và gieo lần lượt từng lỗ một với cùng khoảng cách và tốc độ như nhau. Và giả sử cánh đồng dài vô tận, số lượng hạt là vô hạn, họ cứ thế mà gieo đến vô cùng. Trên đầu họ có hai chú chim láu lỉnh chuyên “ăn cắp” hạt gieo theo hai cách khác nhau. Cứ đến khi Nông gieo đến hạt thứ 5 là chú chim thứ nhất lại sà xuống gắp hạt đó đi, cứ như thế chú chim lần lượt gắp các hạt thứ 5, 10, 15, 20, vân vân. Còn chú chim thứ hai thì đợi đến khi Dân gieo hạt thứ 5, chú ta lại sà xuống gắp hạt kế tiếp hạt trước, cú như thế chú chim lần lượt gắp các hạt thứ 1, 2, 3, 4, 5, vân vân… không chừa hạt nào. (Xem hình minh họa – các lỗ có dấu X đỏ là hạt bị gắp)

Bây giờ mình hỏi: khi Nông gieo hạt “xong” (dù công việc tiến hành vô tận, nhưng cứ hãy tưởng tượng là đến lúc nào đó Nông và Dân sẽ hoàn thành) và chú chim đã “duyệt” qua hết luống của Nông, thì trên luống sẽ còn bao nhiêu hạt? Hiển nhiên quá phải không bạn: dù đã mất đi 1/5 số hạt, nhưng vẫn còn vô số hạt (vô số tức là số lượng vô hạn), đó là các hạt 1, 2, 3, 4, rồi 6, 7, 8, 9, rồi 11, vân vân… Thế còn Dân thì sao? Cũng rất hiển nhiên: cuối cùng rồi thì chú ta cũng sẽ gắp hết tất cả các hạt trong luống của Dân, và sẽ không còn hạt nào cả. Nhưng ô kìa, sao vậy? Hai người nông dân cùng gieo hạt với tốc độ giống nhau, và hai chú chim cùng gắp hạt với tốc độ giống nhau (1 hạt / 5 lần gieo), vậy thì tại sao cuối cùng một luống còn, còn luống kia thì mất hết? Có gì mâu thuẫn ở đây?

Thật ra không có gì là nghịch lý cả, nguyên nhân chính là chúng ta đã xem thường một khái niệm đặc biệt mà ngày xưa nhà toán học Đức Cantor đã cảnh báo về mối nguy hiểm của nó, đó là tập hợp vô hạn (infinite set). Có thể xem luống là một tập hợp vô hạn các hạt. Mà theo lý thuyết của Cantor thì chúng ta không thể xét các tập hợp vô hạn giống như các tập hợp hữu hạn được, chúng có những tính chất riêng và cách xử lý đặc biệt. Đối với “nghịch lý” của chúng ta, không thể dùng trực giác của mình, mà phải theo cách của Cantor. Cụ thể hơn, mặc dù tập hợp số hạt mà chú chim thứ nhất gắp được trên luống của Nông là một tập con của tập hợp số hạt mà chú chim của Dân gắp được, nhưng cả hai tập hợp đều có cùng số lượng (số lượng ở đây không được hiểu theo nghĩa thường mà phải hiểu là “kích thước” của tập hợp vô hạn – hay cardinality), bởi vì giữa chúng có tương ứng một-một. Vì vậy, ta không thể nói luống của Nông có nhiều hạt hơn luống của Dân được (cũng tương đương như nói chú chim của Dân gắp nhiều hạt hơn chú chim của Nông), mà thực chất chúng có cùng “số lượng” như nhau. Trường hợp này cũng tương tự việc so sánh giữa tập hợp tất cả số tự nhiên và tập hợp các số tự nhiên chẵn (hay lẻ). Mặc dù ta nghĩ rằng tập hợp đầu hiển nhiên có số lượng nhiều gấp đôi tập hợp sau, nhưng thật ra, toán học xem cả hai tập hợp đều có số lượng như nhau, dù tập sau có là tập con của tập đầu đi nữa.

Có thể lời trình bày và giải thích của mình không được rõ ràng, chặt chẽ lắm, nhưng khi bạn tìm hiểu toán về tập hợp vô hạn (mà nền tảng là lý thuyết của Cantor), bạn sẽ còn gặp rất nhiều điều “trái tự nhiên” khác, và sẽ còn rất nhiều “nghịch lý” chờ đón bạn, nên hãy coi chừng!

 

[Chu Anh Duy (boytotbung)]

5- MƯA ĐÁ TRONG TOÁN HỌC

Trong toán học cũng có mưa đá sao? Vâng, hơn thế nữa, đó là một trận mưa đá dữ dội và dai dẳng không bao giờ dứt. Nếu bạn chưa hiểu thì trước hết xin mời bạn làm bài tính nho nhỏ này.

a) Chọn một số tự nhiên bất kỳ. (X = integer, X>0)
b) Nếu số này chẵn, chia nó cho 2 (X=X/2). Còn nếu nó lẻ, nhân nó với 3 rồi cộng thêm 1 (X=3X+1).
c) Lặp lại bước b đối với kết quả.

Dần dần bạn sẽ được một dãy số... chưa biết gọi là dãy gì. Nhưng bạn sẽ thắc mắc: chẳng lẽ cứ lặp lại mãi hoài sao? Phải có điều kiện dừng chứ? Bạn đừng lo, quy luật tự nhiên sẽ làm điều này giúp bạn. Bây giờ bắt đầu bằng số út (số 1) nhé:

1: 4, 2, 1

Ồ, với anh chàng này thì quá đơn giản: chỉ cần 3 bước là xong (rõ ràng số 1 là số kết thúc vì nếu ta tiếp tục thì cũng chỉ tạo ra những vòng lặp mới thôi) Bây giờ tiếp đến áp út (số 2):

2: 1, 4, 2, 1

Hì hì, anh này cũng cùng một giuộc, chả khác gì. Sau 4 bước thì nó lại dừng ở số 1. Bây giờ mình thử hỏi bạn: bạn đoán thử xem đối với tất cả các số còn lại, liệu chúng cũng sẽ "dậm chân tại chỗ" tại số 1 như thế này không? (giống như trường hợp hằng số Kaprekar)

Chắc bạn sẽ lắc đầu không tin. Nhưng bạn hãy thử tiếp xem:

3: 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...
4: 2, 1, 4, 2, 1, ...
5: 16, 8, 4, 2, 1, ...
6: 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...
7: 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1,...

Wow! Bây giờ bạn đã bắt đầu thấy phép lạ của tự nhiên ló dạng rồi đó! Không những tất cả các dãy số đều kết thúc ở số 1, mà cái "nút chặn" đó luôn luôn có cấu trúc 3 chữ số 4, 2, 1. (Chính xác hơn thì nó rơi vào một vòng lặp 4, 2, 1 vô tận, nhưng để đơn giản ta cứ xem như nó kết thúc ở đó) Nếu bạn cho rằng đây chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên thì bạn đã nhầm. Người ta đã thử rất nhiều các số còn lại (dĩ nhiên không thể thử tất cả được) và tất cả đều cùng theo quy luật: kết thúc bằng 4, 2, 1 !!

Hình ảnh những con số trong các dãy số mà bạn vừa tạo ở trên cứ trồi lên cao sụt xuống thấp rồi cuối cùng "rơi xuống đất" nằm "thẳng cẳng" rất giống những hạt mưa đá trong đám mây, nên người ta đã gọi chúng là những số mưa đá (Hailstone numbers). Nhưng ý nghĩa của chúng đối với toán học (cụ thể là với lý thuyết số) lớn hơn nhiều một trận mưa đá vật lý bình thường.

Lúc nãy mình đã hỏi bạn "liệu tất cả các số tự nhiên đều cho ra một dãy mưa đá kết thúc bằng 4, 2, 1 hay không?" Thật ra, hỏi là để hỏi thôi, chứ ngay cả các nhà toán học lỗi lạc nhất trên thế giới từ trước đến nay cũng chưa tìm được câu trả lời. Dĩ nhiên qua thực nghiệm thì câu trả lời rõ ràng là "Có", nhưng trong toán học, cái gì chưa chứng minh được bằng lý thuyết thì chưa thể khẳng định thành định lý được, mà vẫn chỉ là "phỏng đoán" (conjecture) mà thôi. Việc tìm phương pháp chứng minh để khẳng định phỏng đoán trên được gọi là bài toán 3x+1 (hoặc 3n+1) hay bài toán Collatz. Mặc dù nó còn nhiều tên khác (lấy từ tên những người đã góp công nghiên cứu và phổ biến nó) nhưng chính nhà toán học Đức Lothar Collatz là người đã nghiên cứu nó đầu tiên vào năm 1937 (khi ông còn là sinh viên). Nhưng mãi đến năm 1952 nhà toán học Anh B. Thwaites mới phát hiện ra tầm quan trọng của nó và cho phổ biến rộng rãi.

Chắc bạn sẽ rất ngạc nhiên vì một bài toán phát biểu cực kỳ đơn giản như thế lại có sức cuốn hút kỳ lạ và làm hao tổn không biết bao nhiêu chất xám của các nhà toán học hàng đầu. Có thể gọi là một cơn sốt cũng không ngoa. Nhà toán học Mỹ S. Kakutani, một trong những người quan tâm nghiên cứu bài toán 3x+1 và được đặt tên cho nó, đã từng phát biểu nửa đùa nửa thật "Có tin đồn rằng bài toán này là một phần trong âm mưu kềm hãm sự phát triển của nền toán học Hoa Kỳ!" Nhà toán học Hungary Paul Erdös cũng từng nhận xét: "Toán học chưa sẵn sàng cho những bài toán kiểu này." Chính Thwaites (nhắc đến ở trên) đã treo giải thưởng 1000 bảng Anh cho ai giải được nó và số tiền này có lẽ sẽ còn tăng. Năm 1999 ở Đức người ta cũng đã tổ chức một hội nghị quốc tế chỉ để bàn về bài toán này. Nhưng sự thật là bài toán cho đến nay vẫn chưa có ai giải được.

Có một mẹo trong toán học: nếu không chứng minh được một phỏng đoán nào đó thì hãy dùng phản ví dụ (counter-example) để bác bỏ nó ! Từ lâu rất nhiều người đã lao vào cuộc săn tìm con số đầu tiên không tuân theo quy luật 4, 2, 1, nhất là khi các máy tính có tốc độ ngày càng nhanh hơn. Theo thông tin mới nhất mà mình tìm hiểu được (tháng 11/2002) thì người ta đã kiểm tra đến con số khổng lồ có 18 chữ số (x1017). Nhưng bạn có biết không, mọi kết quả đều tuân theo quy luật định mệnh của Collatz, vì tất cả các số được thử đều không sớm thì muộn rơi đúng vào "vũng xoáy" 4, 2, 1. Không số nào thoát được. Có lẽ "trận mưa đá" này sẽ còn kéo dài mãi mãi và sẽ không ai có thể chấm dứt được.

Một nguyên nhân nữa khiến các nhà toán học quan tâm tới bài toán Collatz, đó là những dãy số mưa đá được tạo ra từ bài toán 3x+1 có những tính chất rất đặc biệt mà khi nghiên cứu sẽ giúp họ có những hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết số. Thường người ta nghiên cứu hai đặc tính quan trọng nhất của một dãy mưa đá:

- Số bước (tức là số bước cần tiến hành để một dãy mưa đá quy về 1). Cũng chính là chiều dài của dãy mưa đá. Trong ví dụ trên của chúng ta, số bước của 6 là 8, của 7 là 16, vân vân.
Số bước này có vẻ phân phối ngẫu nhiên không theo quy luật nào cả. Nó có thể rất dài chứ không ngắn như trong ví dụ của chúng ta. Ví dụ với số đầu là 27, dãy mưa đá kéo dài đến 111 bước (tăng đột biến trong phạm vi 100 số đầu). Theo kinh nghiệm thường số bước không cao quá 400 đối với những số đủ nhỏ.

- Đỉnh (tức là số lớn nhất trong dãy mưa đá). Cũng giống như số bước, đỉnh của từng dãy không theo một quy tắc rõ ràng. Dĩ nhiên nó sẽ có thể lên rất cao với những số lớn. Có một điều lạ là có rất nhiều số có chung đỉnh là 9232.

Bài toán Collatz cũng có nhiều biến thể. Ví dụ nếu công thức đổi thành 3x-1 (cũng tương đương với giả thiết cho phép số nguyên âm) thì sẽ không chỉ 1 mà có đến 3 cấu trúc vòng lặp kết thúc khác nhau, trong đó có 1 vòng lặp rất dài (căn cứ vào thực nghiệm). Tại sao phép trừ cho ra đến 3 vòng lặp, trong khi phép cộng chỉ cho ra 1 ? Một câu hỏi khá thú vị, nhưng thôi, mình xin kết thúc ở đây. Bạn nào quan tâm muốn tìm hiểu thêm thì hãy tham khảo tài liệu chuyên môn. Việc này không khó mấy vì bài toán Collatz rất nổi tiếng (thậm chí nổi tiếng không chỉ trong toán học - mình biết có người đã viết nhạc dựa vào những con số của cấu trúc 3x+1 đó!)

 

[Chu Anh Duy (boytotbung)]

6- BAO CÔNG XỬ ÁN LÝ BÌNH, hay GÃ TỬ TÙ KHÔNG SỢ CHẾT

Lý Bình là một gã lái buôn, vì cạnh tranh buôn bán nên đâm chết một người thương gia ở Hợp Phố. Vụ án được đem ra xử tại phủ Khai Phong. Sau khi đã làm rõ tội trạng, Bao Công dõng dạc tuyên án:

- Nợ máu phải trả bằng máu. Lý Bình, ngươi sẽ phải chịu tội chết. Nhưng như vậy chưa đủ. Ngươi đã đâm lén người ta sau lưng, trong khi người ta không hề biết là mình sắp chết. Cái chết đó còn đau khổ hơn nhiều lần cái chết bình thường. Ngươi cũng sẽ phải chịu một cái chết bất ngờ như vậy. Nếu ta cho hành quyết ngay bây giờ thì không được. Hôm nay là chủ nhật. Ta lệnh cho từ thứ hai đến thứ bảy tuần tới, một trong sáu ngày đó, ngươi sẽ chịu tội vào buổi sáng một ngày mà ngươi không được báo trước. Như vậy ngươi sẽ chỉ biết mình sắp bị hành hình khi bị dẫn đi mà thôi chứ không hề biết trước, và chịu một cái chết bất ngờ.

Thế là Lý Bình bị giải vào ngục chờ ngày hành quyết. Tuy nhiên gã tử tù vẫn tươi cười như không có chuyện gì xảy ra. Vị cai ngục lấy làm lạ bèn hỏi:

- Này họ Lý, ngươi sắp phải chết, hơn nữa phải dằn vặt vì chờ đón một cái chết bất ngờ, vậy sao ngươi không đau khổ, lại vui vẻ thế kia là cớ làm sao?

Lý Bình cười khểnh đáp:

- Ông tối ngày chỉ quẩn quanh trong ngục tối thì trí óc làm sao mà minh mẫn sáng suốt được như tôi. Tôi biết chắc rằng mình sẽ không bao giờ chết được, vậy thì việc gì tôi phải đau khổ?

Viên cai ngục cố nén giận hỏi tiếp:

- Ta vẫn chưa hiểu, Bao Đại nhân từ xưa tới nay lời phán như đinh đóng cột, tại sao ngươi dám quả quyết sẽ không chịu tội chết?

Lý Bình đáp:

- Này nhé. Tôi biết chắc là mình sẽ không thể chết vào ngày thứ bảy. Bởi vì đó là ngày cuối cùng, nếu như tôi được tha cho đến ngày thứ sáu thì chắc chắn vào tối thứ sáu, tôi đã biết chắc rằng mình sẽ bị hành quyết vào sáng thứ bảy. Mà như vậy thì hóa ra tôi đã biết trước ngày chết của mình, và đó không phải là cái chết bất ngờ như Bao Đại nhân đã phán! Ông thấy có đúng không?

- Ờ… có lý!

- Ít ra ông còn sáng dạ đấy! Như vậy ta đã loại trừ ngày thứ bảy ra rồi phải không? Và chỉ còn xét 5 ngày còn lại. Bây giờ đến ngày thứ sáu. Rõ ràng là nếu tôi được tha cho đến hết ngày thứ năm, thì vào tối thứ năm, tôi biết chắc mình sẽ chết vào sáng thứ sáu, bởi vì đã loại trừ thứ bảy rồi thì chỉ còn sáng thứ sáu nữa thôi! Vậy thì rõ ràng cũng chẳng phải cái chết bất ngờ rồi! Ông có công nhận không?

- Ờ… cũng đúng!

- Như vậy ta loại tiếp ngày thứ sáu ra. Bây giờ đến ngày thứ năm…

Viên cai ngục ngắt lời:

- Thôi, ta đã hiểu rồi, nếu cứ lý luận như thế thì tất cả các ngày còn lại cho đến thứ hai đều phải loại trừ vì không phải là cái chết bất ngờ!

- Rất đúng! Bây giờ thì ông đã tin tôi chưa? Từ thứ hai cho đến thứ sáu không ai có thể hành quyết tôi được, vì như vậy sẽ trái lệnh Bao Công. Trừ phi đại nhân rút lại lời tuyên án. Nhưng chính ông cũng đã nói rồi, lời Bao Công như đinh đóng cột, không thể thay đổi được. Và tôi sẽ không thể nào chết được!

Viên cai ngục gật gù bỏ đi, bụng bảo dạ “Đúng là lái buôn có khác, đầu óc thật quỷ quyệt!”. Suốt ngày hôm đó ông ta vắt tay lên trán suy nghĩ hoài nhưng không thể tìm ra lỗ hổng nào trong suy luận của gã tử tù. Thế là vào tối hôm đó, ông ta tức tốc tìm gặp Bao Công để cấp báo về điều mâu thuẫn lạ lùng này. Nhưng Bao Công sau khi nghe ông ta trình bày xong thì sắc mặt không hề thay đổi, chỉ cả cười vuốt râu mà rằng:

- Khá khen cho ngươi đã lo lắng cho sự vẹn toàn của công lý. Nhưng ngươi cứ an tâm. Xưa nay Bao Thanh Thiên có bao giờ để lọt người lọt tội đâu. Công lý vẫn sẽ được bảo toàn. Ngươi hãy về mà ngủ cho ngon đi.


(Bây giờ đố các bạn đoạn kết sẽ như thế nào? Mình kể tiếp nhé!)

Suốt mấy ngày qua gã tử tù họ Lý cứ ung dung phẩn phơ trong ngục và thậm chí đã tính trước đến chuyện buôn bán khi được phóng thích. Thế nhưng vào buổi sáng thứ năm, hắn bị lay dậy và bị giải vào phủ Khai Phong. Bao Công nhìn thẳng vào mắt hắn, mỉm cười mà rằng:

- Ta nghe nói ngươi không tin mình sẽ bị hành quyết, đúng không?

- Vâng, miễn là đại nhân giữ lời.

- Ngươi đánh giá ta thấp quá đấy. Bây giờ nếu ta cho xử tội ngươi ngay bây giờ thì sao?

Lý Bình biến sắc, ú ớ:

- Ơ… nhưng mà…

- Rõ ràng, chính ngươi vừa thừa nhận rằng ngươi không hề biết trước sẽ bị hành hình vào sáng hôm nay, đúng không? Như vậy há đây chẳng phải là một cái chết bất ngờ sao? Ngươi còn thắc mắc gì nữa? Lệnh ta đã tuyên, thì không thể thay đổi được.

Dút lời, Bao Công quay qua tả hữu, dõng dạc hô:

- Cẩu đầu trảm!


---------------------------------------------------------------------------------

Thật ra câu chuyện trên là mình phóng tác (xin lỗi Bao Đại nhân nhé! ) dựa trên một nghịch lý nổi tiếng tên là “cái chết bất ngờ” hoặc “hành quyết bất ngờ” (unexpected execution). Nó có liên quan đến logic học, một môn khoa học có quan hệ mật thiết với toán học. Bây giờ ta bỏ đoạn cuối ấn tượng đi, mà chỉ xét đến lập luận của gã tử tù. Nếu xét kỹ thì suy luận này không phải là vô lý, nhưng kết quả thì rõ ràng là có mâu thuẫn. Vì vậy nó mới được gọi là nghịch lý. Bạn hãy thử “vắt chân tay lên trán” để tìm ra mâu thuẫn trong nghịch lý trên đi. Nhưng trước khi bạn post ý kiến của mình ở đây, mình xin báo trước: nghịch lý này không đơn giản đâu, người ta vẫn còn tranh luận về nó, và bản thân mình cũng rất mù mờ, vì có quá nhiều lời giải khác nhau được đưa ra, mà vẫn chưa thống nhất được lời giải nào là hợp lý nhất.

Đây không phải là hiện tượng duy nhất. Trong toán học (và logic nói riêng) có rất nhiều nghịch lý còn tồn tại, chứng tỏ logic và cách suy luận của chúng ta vẫn còn chưa hoàn chỉnh, và có nhiều điểm mơ hồ (Tính mơ hồ - vagueness – khi mô tả các khái niệm chính là một điểm yếu của logic mà các nghịch lý thường xoáy vào). Mình viết mẩu chuyện này là để bạn nào chưa quen thì làm quen với nó, chứ nếu bàn về nghịch lý thì vô chừng lắm. Nếu có dịp mình sẽ dành riêng một topic khác về đề tài này (mình có sưu tầm rất nhiều nghịch lý). Còn ở đây thì mình sẽ chỉ thỉnh thoảng bàn đến một số nghịch lý thú vị để thư giãn mà thôi.

 

[Chu Anh Duy (boytotbung)]

7- NHỮNG NGƯỜI VỢ MỌC SỪNG

Trong vụ kỳ án Bao Công vừa rồi thì nhân vật chính của chúng ta là một người có kiến thức toán không tồi, vì hắn đã gián tiếp áp dụng phép quy nạp (induction) để chứng minh phát biểu của mình. Đại khái hắn lập luận điều này là đúng đối với n, và đúng cả đối với n-1, từ đó có thể suy ra nó đúng luôn với n-2, n-3,… nói chung là đúng với tất cả n còn lại. Ai đã học toán đều biết phương pháp này, và nó được sử dụng khá phổ biến để giải toán cũng như để tạo ra các định luật mới. Mình sẽ không cần phải nói nhiều về nó, nhưng ở đây mình muốn dùng một ví dụ lý thú để chứng tỏ hiệu quả của phép quy nạp.

Ngày xửa ngày xưa (hay cứ cho là ngày nay đi cũng được ), có một ngôi làng nhỏ xa xôi tên là làng Mơ, cũng bình thường như nhiều ngôi làng khác, duy chỉ có một điều rất đặc biệt: phụ nữ sau một thời gian đấu tranh kịch liệt đã lật đổ ngôi vị bá chủ của nam giới và đứng lên làm chủ mọi mặt (chính vì thế nó mới có tên là làng Mơ… hi hi ) Tuy nhiên vì các đấng mày râu bị chèn ép, suốt ngày quẩn quanh dưới xó bếp để phục vụ chô “bà chủ nhà” đi làm nên dần dần họ phản kháng bằng một cách rất tự nhiên: ăn vụng tình. Tình trạng đàn ông ngoại tình cứ thế phát triển tràn lan và cuối cùng cũng phải đến tai già làng (dĩ nhiên cũng là đàn bà ). Trước tình hình nguy ngập, già làng quyết định sẽ chấm dứt nó bằng một biện pháp cứng rắn. Bà cho gọi tất cả những người phụ nữ có gia đình về đình làng để tham dự một buổi họp kín. Khi tất cả đã có mặt đông đủ, già làng tuyên bố:

- Này các chị em, ta biết rằng trong làng Mơ của chúng ta đang có nạn ngoại tình. Ta cũng biết rằng mỗi người trong chúng ta đều chưa biết chồng mình có ngoại tình hay không. Nhưng mỗi chị em ta đều biết rõ trong những thằng còn lại thằng nào ngoại tình. Vậy ta ra chỉ thị như thế này. Thứ nhất, dù biết chồng của ai ngoại tình nhưng tất cả chúng ta không ai được tiết lộ bí mật đó cho người kia biết. Thứ hai, nếu chị em ta có ai phát hiện chắc chắn chồng mình ngoại tình, thì đúng nửa đêm hôm đó hãy lấy súng ra bắn chết hắn không thương tiếc. Chị em đã rõ chưa?

Tất cả chị em đều đồng tình ra về. Bạn có biết kết quả như thế nào không?

Đêm thứ nhất không có gì xảy ra. Đêm thứ hai cũng trôi qua bình yên. Cứ thế từng đêm qua dần mà chưa có ông chồng cắm sừng nào bị phát hiện và đền tội. Tuy nhiên, sau một tháng trời đằng đẵng, đến đêm thứ 30 thì vào đúng nửa đêm người ta nghe thấy nhiều tiếng súng đồng loạt vang lên khắp làng Mơ.

Bây giờ mình đố bạn: Có tất cả bao nhiêu ông chồng ngoại tình ở làng Mơ ?


Thật ra đây không phải là một bài toán thuần túy toán học, cũng không phải là bài toán logic chặt chẽ, mà chỉ vận dụng suy luận logic của chúng ta. Bạn phải tưởng tượng mình là một thám tử thông minh, chứ không phải một nhà toán học uyên bác, thì mới giải nó được dễ dàng. Mới xem qua thì có vẻ như thiếu dữ kiện để giải, ví dụ trong làng có bao nhiêu cặp vợ chồng, đêm đó có bao nhiêu tiếng súng, hay chuyện gì xảy ra vào những đêm sau đó, vân vân… Nhưng sự thật là không cần phải biết hết những thông tin đó cũng có thể suy ra một đáp số cực kỳ đơn giản. Nào, bạn hãy trổ tài suy luận của mình đi, hãy suy nghĩ kỹ trước khi đọc lời giải của mình ở dưới cùng. Nếu bí quá thì hãy đọc tiếp mách nước của mình dưới đây.

?
?
?
?

MÁCH NƯỚC: Trong làng Mơ, nếu có tiếng súng thì ai cũng có thể nghe thấy cả.

?
?
?
?
?
?
?
?
?

LỜI GIẢI:

Ta có các điều kiện sau:

a) Có ít nhất 1 ông chồng ngoại tình.
b) Mỗi bà vợ đều chưa biết chồng mình ngoại tình hay không.
c) Mỗi bà vợ đều biết ai ngoại tình trong số những ông chồng còn lại (ngoài chồng mình).

Trước hết ta gọi x là số ông chồng ngoại tình ở làng Mơ. Ta bắt đầu bằng trường hợp x = 1, tức là chỉ có duy nhất một ông chồng ngoại tình. Rõ ràng theo điều kiện c, bà vợ của ông chồng này biết rõ rằng không có ai ngoại tình (trừ chồng mình). Mà theo điều kiện a thì phải có ít nhất 1 người ngoại tình, nên bà có thể kết luận kẻ đó không ai khác chính là chồng mình và ngay đêm đầu tiên sẽ xử tội ngay.

Bây giờ xét trường hợp x = 2, tức là có đúng 2 ông chồng ngoại tình. Tất cả các bà vợ đều biết có ít nhất 1 người ngoại tình (trừ chồng mình), nhưng chồng mình có ngoại tình hay không thì họ chưa thể kết luận được, nên chưa ai dám xử ngay đêm đó. Nhưng đến sáng hôm sau thì 2 bà vợ bị cắm sừng bắt đầu suy nghĩ: Theo điều kiện c, họ đều biết có 1 người ngoại tình (trừ chồng mình). Nếu chỉ có duy nhất một mình ông ta ngoại tình, thì ắt hẳn ông ta sẽ bị bắn ngay đêm đầu (theo suy luận của chúng ta trong trường hợp x = 1). Đằng này đêm qua họ không nghe thấy tiếng súng nào cả, vậy thì họ suy ra phải có thêm 1 người ngoại tình nữa, và rõ ràng người đó không ai khác hơn chính là chồng mình (vì nếu là người khác thì lúc đầu họ phải biết 2 người ngoại tình, chứ không phải chỉ 1 người). Thế là cả hai bà vợ mọc sừng sẽ bắn chồng mình ngay trong đêm tiếp theo (đêm thứ hai).

Cứ suy luận tương tự như thế đối với các trường hợp x=3, x=4, vv… ta có thể áp dụng phép quy nạp để khẳng định rằng: Nếu có x ông chồng ngoại tình, thì sau (x-1) đêm im ắng không có tiếng súng, tất cả các bà vợ của họ sẽ đủ cơ sở để kết tội họ và sẽ bắn họ đồng loạt vào đêm thứ x. Mà bài toán cho biết tiếng súng bắt đầu vào đêm thứ 30. Vậy thì trong trường hợp này, x = 30. Tức là: Có tất cả 30 ông chồng ngoại tình ở làng Mơ. Quá đơn giản phải không bạn?

Nếu bạn để ý thì sẽ thấy biện pháp độc đáo của già làng là rất hiệu quả: sẽ không có trường hợp lọt người, lọt tội, bởi vì sẽ không có ai bị xử oan, và các ông chồng cắm sừng cuối cùng đều bị phát hiện và chịu tội, không ai thoát được. Dĩ nhiên với điều kiện tất cả bà vợ đều đủ thông minh để lý luận như trên, nhưng rõ ràng phụ nữ làng Mơ đã lật đổ được ách thống trị của đàn ông thì phải có dư điều kiện đó rồi phải không bạn?

Một bài toán “vui là chính” nhưng cũng có ý nghĩa đấy chứ! Như đã nói, phương pháp quy nạp tương tự như trên được sử dụng phổ biến trong toán học, đặc biệt trong lý thuyết số. Thậm chí ta có thể áp dụng nó đối với các phần tử của tập hợp vô hạn. Trong trường hợp này, phép quy nạp tỏ rõ sức mạnh của nó, vì nếu dùng các phương pháp chứng minh khác sẽ khó và phức tạp hơn nhiều.

 

[Vũ Đình Hoàng (Moonlife)]

6- BAO CÔNG XỬ ÁN LÝ BÌNH, hay GÃ TỬ TÙ KHÔNG SỢ CHẾT

Lý Bình là một gã lái buôn, vì cạnh tranh buôn bán nên đâm chết một người thương gia ở Hợp Phố. Vụ án được đem ra xử tại phủ Khai Phong. Sau khi đã làm rõ tội trạng, Bao Công dõng dạc tuyên án:

- Nợ máu phải trả bằng máu. Lý Bình, ngươi sẽ phải chịu tội chết. Nhưng như vậy chưa đủ. Ngươi đã đâm lén người ta sau lưng, trong khi người ta không hề biết là mình sắp chết. Cái chết đó còn đau khổ hơn nhiều lần cái chết bình thường. Ngươi cũng sẽ phải chịu một cái chết bất ngờ như vậy. Nếu ta cho hành quyết ngay bây giờ thì không được. Hôm nay là chủ nhật. Ta lệnh cho từ thứ hai đến thứ bảy tuần tới, một trong sáu ngày đó, ngươi sẽ chịu tội vào buổi sáng một ngày mà ngươi không được báo trước. Như vậy ngươi sẽ chỉ biết mình sắp bị hành hình khi bị dẫn đi mà thôi chứ không hề biết trước, và chịu một cái chết bất ngờ.

Thế là Lý Bình bị giải vào ngục chờ ngày hành quyết. Tuy nhiên gã tử tù vẫn tươi cười như không có chuyện gì xảy ra. Vị cai ngục lấy làm lạ bèn hỏi:

- Này họ Lý, ngươi sắp phải chết, hơn nữa phải dằn vặt vì chờ đón một cái chết bất ngờ, vậy sao ngươi không đau khổ, lại vui vẻ thế kia là cớ làm sao?

Lý Bình cười khểnh đáp:

- Ông tối ngày chỉ quẩn quanh trong ngục tối thì trí óc làm sao mà minh mẫn sáng suốt được như tôi. Tôi biết chắc rằng mình sẽ không bao giờ chết được, vậy thì việc gì tôi phải đau khổ?

Viên cai ngục cố nén giận hỏi tiếp:

- Ta vẫn chưa hiểu, Bao Đại nhân từ xưa tới nay lời phán như đinh đóng cột, tại sao ngươi dám quả quyết sẽ không chịu tội chết?

Lý Bình đáp:

- Này nhé. Tôi biết chắc là mình sẽ không thể chết vào ngày thứ bảy. Bởi vì đó là ngày cuối cùng, nếu như tôi được tha cho đến ngày thứ sáu thì chắc chắn vào tối thứ sáu, tôi đã biết chắc rằng mình sẽ bị hành quyết vào sáng thứ bảy. Mà như vậy thì hóa ra tôi đã biết trước ngày chết của mình, và đó không phải là cái chết bất ngờ như Bao Đại nhân đã phán! Ông thấy có đúng không?

- Ờ… có lý!

- Ít ra ông còn sáng dạ đấy! Như vậy ta đã loại trừ ngày thứ bảy ra rồi phải không? Và chỉ còn xét 5 ngày còn lại. Bây giờ đến ngày thứ sáu. Rõ ràng là nếu tôi được tha cho đến hết ngày thứ năm, thì vào tối thứ năm, tôi biết chắc mình sẽ chết vào sáng thứ sáu, bởi vì đã loại trừ thứ bảy rồi thì chỉ còn sáng thứ sáu nữa thôi! Vậy thì rõ ràng cũng chẳng phải cái chết bất ngờ rồi! Ông có công nhận không?

- Ờ… cũng đúng!

- Như vậy ta loại tiếp ngày thứ sáu ra. Bây giờ đến ngày thứ năm…

Viên cai ngục ngắt lời:

- Thôi, ta đã hiểu rồi, nếu cứ lý luận như thế thì tất cả các ngày còn lại cho đến thứ hai đều phải loại trừ vì không phải là cái chết bất ngờ!

- Rất đúng! Bây giờ thì ông đã tin tôi chưa? Từ thứ hai cho đến thứ sáu không ai có thể hành quyết tôi được, vì như vậy sẽ trái lệnh Bao Công. Trừ phi đại nhân rút lại lời tuyên án. Nhưng chính ông cũng đã nói rồi, lời Bao Công như đinh đóng cột, không thể thay đổi được. Và tôi sẽ không thể nào chết được!

Viên cai ngục gật gù bỏ đi, bụng bảo dạ “Đúng là lái buôn có khác, đầu óc thật quỷ quyệt!”. Suốt ngày hôm đó ông ta vắt tay lên trán suy nghĩ hoài nhưng không thể tìm ra lỗ hổng nào trong suy luận của gã tử tù. Thế là vào tối hôm đó, ông ta tức tốc tìm gặp Bao Công để cấp báo về điều mâu thuẫn lạ lùng này. Nhưng Bao Công sau khi nghe ông ta trình bày xong thì sắc mặt không hề thay đổi, chỉ cả cười vuốt râu mà rằng:

- Khá khen cho ngươi đã lo lắng cho sự vẹn toàn của công lý. Nhưng ngươi cứ an tâm. Xưa nay Bao Thanh Thiên có bao giờ để lọt người lọt tội đâu. Công lý vẫn sẽ được bảo toàn. Ngươi hãy về mà ngủ cho ngon đi.


(Bây giờ đố các bạn đoạn kết sẽ như thế nào? Mình kể tiếp nhé!)

Suốt mấy ngày qua gã tử tù họ Lý cứ ung dung phẩn phơ trong ngục và thậm chí đã tính trước đến chuyện buôn bán khi được phóng thích. Thế nhưng vào buổi sáng thứ năm, hắn bị lay dậy và bị giải vào phủ Khai Phong. Bao Công nhìn thẳng vào mắt hắn, mỉm cười mà rằng:

- Ta nghe nói ngươi không tin mình sẽ bị hành quyết, đúng không?

- Vâng, miễn là đại nhân giữ lời.

- Ngươi đánh giá ta thấp quá đấy. Bây giờ nếu ta cho xử tội ngươi ngay bây giờ thì sao?

Lý Bình biến sắc, ú ớ:

- Ơ… nhưng mà…

- Rõ ràng, chính ngươi vừa thừa nhận rằng ngươi không hề biết trước sẽ bị hành hình vào sáng hôm nay, đúng không? Như vậy há đây chẳng phải là một cái chết bất ngờ sao? Ngươi còn thắc mắc gì nữa? Lệnh ta đã tuyên, thì không thể thay đổi được.

Dút lời, Bao Công quay qua tả hữu, dõng dạc hô:

- Cẩu đầu trảm!


---------------------------------------------------------------------------------

Thật ra câu chuyện trên là mình phóng tác (xin lỗi Bao Đại nhân nhé! ) dựa trên một nghịch lý nổi tiếng tên là “cái chết bất ngờ” hoặc “hành quyết bất ngờ” (unexpected execution). Nó có liên quan đến logic học, một môn khoa học có quan hệ mật thiết với toán học. Bây giờ ta bỏ đoạn cuối ấn tượng đi, mà chỉ xét đến lập luận của gã tử tù. Nếu xét kỹ thì suy luận này không phải là vô lý, nhưng kết quả thì rõ ràng là có mâu thuẫn. Vì vậy nó mới được gọi là nghịch lý. Bạn hãy thử “vắt chân tay lên trán” để tìm ra mâu thuẫn trong nghịch lý trên đi. Nhưng trước khi bạn post ý kiến của mình ở đây, mình xin báo trước: nghịch lý này không đơn giản đâu, người ta vẫn còn tranh luận về nó, và bản thân mình cũng rất mù mờ, vì có quá nhiều lời giải khác nhau được đưa ra, mà vẫn chưa thống nhất được lời giải nào là hợp lý nhất.

Đây không phải là hiện tượng duy nhất. Trong toán học (và logic nói riêng) có rất nhiều nghịch lý còn tồn tại, chứng tỏ logic và cách suy luận của chúng ta vẫn còn chưa hoàn chỉnh, và có nhiều điểm mơ hồ (Tính mơ hồ - vagueness – khi mô tả các khái niệm chính là một điểm yếu của logic mà các nghịch lý thường xoáy vào). Mình viết mẩu chuyện này là để bạn nào chưa quen thì làm quen với nó, chứ nếu bàn về nghịch lý thì vô chừng lắm. Nếu có dịp mình sẽ dành riêng một topic khác về đề tài này (mình có sưu tầm rất nhiều nghịch lý). Còn ở đây thì mình sẽ chỉ thỉnh thoảng bàn đến một số nghịch lý thú vị để thư giãn mà thôi.

Đây quả là 1 bài toán logic rất hay.
Về lời giải thích thì mình có thể đưa ra thế này: Đúng là người tử tù đã biết áp dụng "quy nạp" nhưng lại áp dụng 1 cách không hoàn chỉnh. Tức là ông ta đã "giả sử" rằng không bị xử tử cho đến tận ngày thứ sáu để suy ra rằng "biết trước" bị xử tử ngày thứ bảy.
Bình thường ra khi ta làm phép quy nạp đều phải thử trước ít nhất là với 1 giá trị đầu tiên. Trong trường hợp này ngay giá trị đầu tiên đã có thể sai thì làm sao có được "giả thiết quy nạp" để chứng minh tiếp?