Một vài bài toán về tập hợp.

Ngo_Van_Sang

Ngô Văn Sáng
(Ngo_Van_Sang)

New Member
Nhân đọc được một topic mà các bạn nói nhiều về tập hợp, tự nhiên tôi nhớ ra một vài bài toán về tập hợp tôi gặp hồi năm I, post lên để các bạn học lớp 12 và các bạn đang học năm I tham khảo (tất nhiên ai thích mà rỗi thì làm thử cho vui). Nhiều câu hỏi có lẽ các bạn lớp 12 cũng chưa đủ kiến thức để trả lời, nhưng các bạn cứ thử sức vì thực sự chỉ cần kiến thức đơn giản về các không gian (năm I).
Trước hết, chắc bạn nào bắt đầu học về tập hợp cũng biết hai bài toán khá hay và cũng không dễ lắm (nếu không nói là khó):
Bài toán 1: chứng minh nếu có một đơn ánh từ tập A vào tập B và ngược lại, một đơn ánh từ tập B vào tập A thì có một song ánh giữa 2 tập và lực lượng hai tập tương đương.
Bài toán 2: chứng minh lực lượng của X nhỏ hơn lực lượng P(X) là tập các tập con của X (ở đây các bạn hiểu lực lượng trong trường hợp hữu hạn là số phần tử, trong trường hợp vô hạn là lớp tương đương, card A nhỏ hơn card B nếu có đơn ánh từ A vào B và không có chiều ngược lại).
Ở đây bài toán 1 thực ra là một định lý khá quan trọng.
Bài toán 2 bis: chứng minh R ~ P(N) ==> card R > card N.
Sau đó đến khi tôi học năm I thì được học về không gian topo, metric, Banach, ... và được biết thêm vài khái niệm về tập đóng, mở, tập hoàn hảo, ... Khi làm bài tập thì bắt đầu gặp một vài bài toán cũng khá hay về lực lượng vài tập hợp đặc biệt. Trước hết ta cần vài khái niệm. Ở đây, để đơn giản chúng ta chỉ xét trong tập R các số thực (một vài bài chỉ cần là không gian metric hoặc đơn giản là topo khả tách T2). Ngoài ra định nghĩa tôi đưa ra về từ ngữ có thể có chỗ sai khác với một số sách.
- Một điểm gọi là điểm giới hạn của một tập nếu nó là giới hạn của một dãy phần tử của tập đó.
- Một tập hợp gọi là đóng nếu nó chứa tập các điểm giới hạn của nó.
- Một tập hợp gọi là hoàn hảo nếu nó đóng và bằng tập các điểm giới hạn của nó, hay nói cách khác mọi điểm của nó đều là điểm giới hạn.
Bài toán 3: chứng minh mọi tập hoàn hảo trong R đều có lực lượng tương đương với R (continum).
1 ví dụ đơn giản của tập hoàn hảo là tập Cantor trên đoạn [0,1] (gọi là đơn giản nhưng chứng minh được cũng không đơn giản, và có thể coi là bài toán 3 bis chẳng hạn). Tất nhiên có nhiều tập hoàn hảo khác phức tạp hơn nhiều.
Đến đây, các bạn đã thấy được rằng tập hoàn hảo là một dạng tập hợp khá phức tạp, và như các bạn thấy rằng nó có lực lượng continum (tất nhiên là xét trên R hoặc các không gian topo thích hợp. Một câu hỏi khá hay đặt ra là xây dựng được không một topo mà có một tập hoàn hảo có lực lượng nhỏ hơn continum). Các bạn cũng biết rằng tập các số hữu tỷ là đếm được, và nếu bỏ Q ra khỏi R thì phần còn lại tất nhiên vẫn continum (có một định lý là mọi tập vô hạn A đều là hợp rời rạc của một tập A1 đếm được và một tập A2 có lực lượng tương đương A, các bạn có thể coi đây là bài toán 1 bis chẳng hạn). Và một câu hỏi được đặt ra:
Bài toán 4: tồn tại hay không một tập hoàn hảo trong R (hay đơn giản hơn, trong [0,1]) sao cho nó không chứa một điểm hữu tỷ nào cả.
Tất cả các bài tập ở trên đều không quá khó (một số bạn có thể thấy dễ) và các bạn đều có thể tìm thấy trong "Tô pô đại cương" của Kelly và trong "Nguyên lý cơ bản của giải tích" của Rudin (nhưng chắc không có lời giải đâu ;)). Tuy nhiên tôi nghĩ đó cũng là một số bài toán khá hay để rèn luyện tư duy. Anh bạn tôi sau khi làm bài này đã nghĩ ra thêm một vài câu hỏi thú vị nữa và tổng hợp được hẳn thành báo cáo nghiên cứu khoa học cho sinh viên. Rất tiếc tôi không còn nhớ chính xác được những câu hỏi của anh bạn, hy vọng sẽ quay lại trong một bài viết khác.
P/S: Các bạn nào có lời giải thì hy vọng cũng post vào đây để các bạn khác tham khảo.
 
Cậu viết bài này thì đến bao giờ thằng cháu mới post lại lời giải được. Chán quá.
 
Hình như khái niệm tập hoàn hảo của anh là khái niệm tập compact đúng không? Mấy khái niệm em được học hơi khác mấy đinh nghĩa của anh 1 chút.
 
Làm toán thì đừng "hình như" em ạ. "Hình như hai định nghĩa là một" cũng giông giống "Hình như con voi nó dài dài, mềm mềm giống con đỉa" vậy. Xem ra thì cả hai khái niệm em đều chưa nắm được. Em nên thử tìm vài ví dụ xem sao.
Có một cách khác định nghĩa tập hoàn hảo dễ hiểu hơn, nhưng có thể khó làm bài tập hơn là: "Tập hoàn hảo là tập đóng không có điểm cô lập". Như thế [0,1] cũng hoàn hảo, R cũng hoàn hảo.
 
Sorry anh, em nhầm. Thật ra là em nhầm về khái niệm tập đóng (em nhầm từ lâu rồi, do không tìm hiểu kĩ). Khái niệm tập mở là tập mà mỗi điểm của nó đều là điểm trong, sau đấy em nghĩ là tập đóng là tập mà mỗi điểm của nó đều là điểm giới hạn. Nhầm tai hại quá.
Mấy cả khái niệm về tập compact mà em học là : tập K gọi là compact nếu mỗi bao phủ mở {Ga, a thuộc A} (a ở đâu là index) của nó đều chứa 1 bao phủ con hữu hạn {Gan}, {an} thuộc A, n thuộc N, tức là tồn tại n hữu hạn sao cho K là tập con của Ga1 U Ga2 U ... Gan.
Có 2 định lý quan trọng là :
-Tập compact là tập đóng.
-Mọi tập con đóng của tập compact cũng là tập compact.
Từ đấy em nghĩ khái niệm tập compact giống khái niệm tập hoàn hảo của anh mới chết chứ.
Còn ví dụ về tập compact với tập hoàn hảo thì: {1, 1/2, 1/3...} U {0} là tập compact, nhưng không phải tập hoàn hảo.
Còn bài toán 4: tồn tại hay không một tập hoàn hảo trong R (hay đơn giản hơn, trong [0,1]) sao cho nó không chứa một điểm hữu tỷ nào cả.
em chưa tìm ra nhưng em biết có tập Cantor là tập hoàn hảo:
S0 = [0, 1]
S1 = S0 \ (1/3, 2/3)
S2 = S1 \ { (1/9, 2/9) , (7/9, 8/9) }
Sn+1 = Sn \ { các đoạn mở 1/3 ở giữa của các tập con của Sn } (dịch hơi khó hiểu, mọi người có thể vào đây xem minh họa này: http://personal.bgsu.edu/~carother/cantor/Cantor1.html)
C = giao của Sn.
 
To Trung, và others
Bài 1,2,3 thì là định lý rồi!!:p
Bài 4 mày có thích làm nữa thì tao có gợi ý này :

Hint: Tập Cantor là tập hoàn hảo rất tốt vì nó không tầm thường. Để xây dựng một tập hoàn hảo theo ý muốn, ta cứ thử bắt chiếc cách xây dựng tập Cantor xem!!

Tập Cantor được xây dựng bằng cách "chặt" đi liên tiếp những khoảng mở rời hẳn nhau ra ( quan trọng đấy ) !! Vậy thì ta cũng "chặt" đi các khoảng mở, và để thỏa mãn yêu cầu bài 4 thì các số hữu tỉ phải bị "chặt" đi hết.

Thuận lợi là các số hữu tỉ có thể liệt kê được dần dần, nên ta có thể "chặt" từ từ......

Have fun solving it!! ;)
 
Ý tưởng của chú Dũng về nguyên tắc như thế là ổn, chỉ cần chứng minh thật cẩn thận là được :)
 
Chỉnh sửa lần cuối:
Hừm, hơi lẫn lộn chút. Trong sách thầy Nguyễn Duy Tiến ( chắc là cũng giống như trong cuốn nguyên lý cơ bản của Rudin :D ) bài toán 3 là định lý mọi tập hoàn hảo đều không đếm được. Muốn chứng minh nó là continuum chắc là phải chứng minh kiểu khác!! :-s
 
Xem ra chỉ có chú Dũng chịu đọc và suy nghĩ :))
Đúng rồi, anh hơi lạm dụng từ ngữ, thực ra là chứng minh tập hoàn hảo là không đếm được thôi, còn chứng minh tương đương với R là việc khác, anh không định nói tới việc đó. Cám ơn chú Dũng để ý sửa hộ anh chỗ nhầm lẫn đấy.
Tóm lại bài 1 là một định lý, bài 1 bis thì trích ra 2 dãy con là được. Bài 2 dùng phản chứng + để ý một chút, 2 bis ở 1 topic trước mọi người bàn nhiều rồi, dùng cơ số 2. Bài 3 nên sửa lại là c/m tập là không đếm được (tất nhiên ai c/m nó ~ R thì càng hay), dùng phản chứng và phương pháp tương tự phương pháp đường chéo, bài 3 bis cũng là định lý có thể thấy trong hầu hết sách giải tích năm 1. Ba bài đầu thực ra đều tìm được trong rất nhiều sách dành cho SV khoa Toán. Chỉ có bài 4 mới là bài vui vui để suy nghĩ một tẹo, xây dựng kiểu quy nạp theo cách của Dũng, c/m là tập hoàn hảo chỉ cần để ý mấy cái đầu mút của các tập mở mà khi xây dựng bỏ đi là được (gần giống bài 3 bis).
P/S: Chẳng thấy mấy bạn lớp 12 và năm 1 phát biểu, toàn thấy mấy SV sắp ra trường thế này :))
 
Chỉnh sửa lần cuối:
P/S: Chẳng thấy mấy bạn lớp 12 và năm 1 phát biểu, toàn thấy mấy SV sắp ra trường thế này
Nhấn để mở rộng...
Đừng đùa thế chứ anh, mấy bài anh hỏi là trong phần Topologie, là chương trình của năm thứ 3 ĐH. Phần này khá là trừu tượng. Cho dù anh có hỏi bọn học prépa năm 1 còn chưa chắc đã làm được, nói gì đến mấy thằng lớp 12 và ĐH năm 1
 
Cũng đúng!! Năm 1 học Calculus, tính tích phân vi phân là chủ yếu. Cái bác Sáng nói là Analysis-Topology mất rồi! hehe có sao đâu có bác còn mang giả thuyết continuum ra đố học sinh cấp III cơ mà :))
 
Bạn phải đăng nhập hoặc đăng ký để phản hồi tại đây.
Back
Bên trên