Toán học cao cấp hay sơ cấp ?

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Có một vấn đề Toán học vui vẻ thế này cho các bạn học sinh và sinh viên cực giỏi Toán! Tôi đặt cho nó 2 tên gọi,

Vấn đề thế giới tam cực hoặc Vấn đề đối cực trong Tam Quốc :

Giả sử trên thế giới (mặt cầu hai chiều) chỉ có 3 vùng ảnh hưởng (eg. Á-Âu-Mỹ văn hóa, chính trị hay kinh tế) hiểu là 3 tập hợp đóng, tức là bất cứ điểm nào trên mặt cầu cũng thuộc ít nhất 1 trong 3 vùng đó. Có đúng hay không khẳng định sau: phải có ít nhất một trong 3 vùng có chứa một cặp 2 điểm đối cực ???

Lưu ý là: mỗi vùng ảnh hưởng có thể có hình thù phức tạp tùy ý, cũng không nhất thiết phải liên thông, có thể rời rạc, thậm chí cũng chẳng cần thiết phải là đo được (!!), v.v. Chỉ nên hình dung chúng như là 3 tập hợp đóng phủ kín mặt cầu, đơn giản vậy thôi! Hy vọng các bạn đã biết thế nào là tập hợp đóng.

Các bạn trẻ nếu không giải quyết được câu hỏi này trong trường hợp tổng quát nhất, có thể tự đặt thêm điều kiện mà các bạn thích hoặc muốn có về các vùng nói trên, rồi hạn chế vấn đề về trường hợp đó.

Đây là 1 vấn đề toán học rất hay, không dễ, đòi hỏi sự nghiêm túc khi tham gia bình luận.

 

[Bùi Hải Thanh (thanhbh)]

Vấn đề thế giới tam cực hoặc Vấn đề đối cực trong Tam Quốc :

Bài này dẫn dắt 1 lúc ra luôn bài coloring map, nên em không giải nữa, bác Hưng tự giải lấy vậy

/Thanh

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Bài này dẫn dắt 1 lúc ra luôn bài coloring map, nên em không giải nữa, bác Hưng tự giải lấy vậy

/Thanh

Chú Thanh mến: chú viết mập mờ thế, anh không hiểu. Chú nên viết cụ thể bài "coloring map" mà chú đã đưa bài "thế giới tam cực" về được đi.

 

[Nguyễn Lê Đăng Thi (Black-Metaler)]

Em không hiểu ý anh đối cực là sao? Có phải là Antipol? Em chưa tưởng tượng được ý của câu hỏi anh đạt ra. Nếu đây là câu hỏi có tính Topological thì theo cảm nhận của em, dùng map: S[SUP]2[/SUP] --> RP[SUP]2[/SUP]. Lần lượt gọi U[SUB]1[/SUB] U[SUB]2[/SUB] U[SUB]3[/SUB] là covering của mặt cầu, ngoài ra ta có Fiber bundle sau Z[SUB]2[/SUB] --> S[SUP]2[/SUP] --> RP [SUP]2[/SUP] , nên "có thể" là khẳng định trên là positive.
Anh có thể nói rõ hơn đề bài được không?

 

[Nguyễn Lê Đăng Thi (Black-Metaler)]

Khoan đã, em hiểu ý câu hỏi của anh rồi, trong trường hợp tổng quát thì khó nói, Giả sử 3 vùng đó làm thành covering của mặt cầu, 3 vùng đều path-connected, và giao của mỗi vùng với 1 vùng khác là khác rỗng, vậy thì hình học cho thấy ngay là câu trả lời cho câu hỏi là positive.

 

[Nguyễn Hoàng Dũng (ThomasTran)]

Anh Thi chứng minh thử đi.

 

[Nguyễn Lê Đăng Thi (Black-Metaler)]

Mình chưa nghĩ ra cách cm tổng quát, chắc chắn phải dựa vào cái Fibre bundle của real projective space mà mình nói trên.
1 hình ảnh trực quan rất dễ hình dung là ví dụ sau: Coi mặt cầu S[SUP]2[/SUP] có phân tích cell bởi S[SUP]1[/SUP] hợp D[SUP]+[/SUP] hợp D[SUP]-[/SUP] , trong đó S1 là đường tròn đơn vị ( trong trường hợp trái đất, thì nó chính là đường xích đạo, equator). Còn D[SUP]+[/SUP] và D[SUP]-[/SUP] lần lượt là Hemi-sphere, các bán cầu trên và dưới.
Rõ ràng trong S1, luôn có các điểm antipol. và 3 vùng trên làm thành covering của S2.
Mai mình sẽ cố gắng đưa ra cm tổng quát.

 

[Nguyễn Quang Hưng (sonnet)]

Trước hết hoan hô chú Đăng Thi vì tinh thần và nỗ lực với bài toán tam cực Nói 1 cách chính xác thì cần phải chứng minh là với mỗi phủ đóng (n+1)-phần tử của mặt cầu n chiều, tồn tại ít nhất 1 phần tử có chứa một cặp 2 điểm đối cực.

Bài này có thể giải quyết bằng hai pp rất khác nhau, pp thông thường thì sinh viên khoa toán năm thứ 3 học qua algebraic topo có thể giải được, pp kia thì rất đặc biệt và ít được biết tới vì dùng nhiều kết quả của giải tích hàm và không cần đến topo đại số. Cả 2 pp này tôi không thực sự hài lòng vì không coi chúng là sơ cấp.

Với n=1, chứng minh rất đẹp một dòng. Có thể cm như sau:
Giả sử S=S_1 + S_2, S_i * (-S_i) = null. Do đó -S_1 \subset S_2 ==> S_1 \subset -S_2 ==> S = S_2 + (-S_2) mâu thuẫn.
Với n=2, chúng ta thử tìm kiếm một lời giải "sơ cấp" cho nó, chấp nhận thêm những đ/k đối với phủ đóng.

Khoan đã, em hiểu ý câu hỏi của anh rồi, trong trường hợp tổng quát thì khó nói, Giả sử 3 vùng đó làm thành covering của mặt cầu, 3 vùng đều path-connected, và giao của mỗi vùng với 1 vùng khác là khác rỗng, vậy thì hình học cho thấy ngay là câu trả lời cho câu hỏi là positive.